D’Aristòtil a la teoria dels grafs

«La celebració de l’Any Llull ha posat en evidència les dimensions excepcionals de la intel·ligència creativa en el pensament i en l’escriptura d’aquest mallorquí universal»

Ramon Llull (1232-1316) va ser un home de vida espiritual intensa que va concebre i promoure l’Art: una tècnica intel·lectual formalitzada, apta per a convertir els infidels, estimular la vida espiritual dels cristians i fonamentar totes les branques del saber. El projecte missioner i apologètic lul·lià buscava l’aprovació de l’Església i reclamava el suport econòmic del poder polític cristià. Llull va residir a Mallorca i a Montpeller, però també a París i a Roma i va realitzar viatges apostòlics al nord d’Àfrica i a l’orient del Mediterrani. El catàleg de les seves obres abasta uns dos-cents seixanta títols en català i en llatí: escrits en prosa literària com el Llibre de contemplació en Déu o el Llibre de meravelles; diverses versions de l’Art, com l’Art demostrativa o l’Ars generalis ultima; escrits de polèmica religiosa com el Llibre del gentil i dels tres savis; monografies teològiques, filosòfiques i científiques; diàlegs; sermons; aforismes; poemes; novel·les com el Romanç d’Evast e Blaquerna; i una autobiografia, Vida de mestre Ramon. Fins el segle XIX Llull va ser llegit com a filòsof i místic; d’ençà de la Renaixença s’ha valorat la seva faceta d’escriptor pioner en llengua catalana. La celebració de l’Any Llull el 2016, en ocasió del setè centenari de la seva mort, ha posat en evidència les dimensions excepcionals de la intel·ligència creativa en el pensament i en l’escriptura d’aquest mallorquí universal (trobareu més informació biobibliogràfica a la base de dades Ramon Llull de la Universitat de Barcelona, 2002).

L’esforç de sistematització del saber a l’Arbre de ciència descansa sobre la natura homòloga de l’estructura arbòria i la identitat de les arrels. A la imatge, representació de l’arbre eviternal recollida a l’Arbre de ciència, segons una edició de 1505. / Centre de Documentació Ramon Llull

Llull descriu el saber enciclopèdic del segle XIII

Moltes obres lul·lianes absorbeixen en mesures i termes diferents un repertori extens de nocions de caràcter enciclopèdic. Les més importants són el Llibre de contemplació en Déu (1271-1274), la Doctrina pueril (1274-1276), el Fèlix o Llibre de meravelles (1288-1289), la Taula general (1293-1294), l’Arbre de ciència (1295-1296) i l’Ars generalis ultima (1305-1308) (vegeu Badia, 2004). L’entrada de materials enciclopèdics en l’obra de Llull s’ha de situar històricament en el marc de la circulació en vulgar del saber per a ús dels laics, que és un tret típic de la vernacularització del saber (vegeu Cifuentes, 2006; i el portal Sciència.cat [Universitat de Barcelona, 2006]). Les primeres manifestacions d’aquest fenomen d’abast europeu són en llatí i remunten a mitjan segle XII, amb obres com el Dragmaticon philosophiae de Guillem de Con­ches, que era un mestre de la catedral de Chartres. En aquesta obra, escrita en un llatí força elegant i plena de records de Sèneca i de Ciceró, un mestre dialoga amb un duc sobre diversos aspectes de filosofia natural. És important remarcar que això s’esdevé abans de la difusió a Occident del corpus aristotèlic, una arribada d’informació filosòfica i científica que va transformar la cultura europea. La traducció catalana del Dragmaticon philosophiae, datada al segle XIV, recorda molt de prop, a nivell formal i expressiu, alguns fragments del Fèlix i de l’Arbre de ciència.

«La ‘Doctrina pueril’ és un manual d’educació primària que se centra en la formació cristiana. Llull ens hi proporciona el quadre dels coneixements sobre l’home i la natura que considerava bàsics»

Llull produeix, però, la seva obra quan el procés d’assimilació de les traduccions d’Aristòtil –especialment de la Física i dels Analítics posteriors– ja s’ha consolidat en els curricula universitaris de París i d’Oxford des de la segona meitat del segle XII. També és posterior a la redacció de les grans summes escolàstiques, com ara els monumentals Specula de Vicenç de Beauvais o el De rerum propietatibus de Bartomeu l’Anglès, que són de mitjan segle XIII. En els medis monàstics i universitaris dels temps de Llull hi ha una àmplia disponibilitat d’informació sobre els reialmes humà, natural i diví. Llull ho explica a la Doctrina pueril (vegeu Fidora i Rubio, 2008; i Pring-Mill, 1991).

Monument de Josep Maria Subirachs dedicat a Ramon Llull al monestir de Montserrat (Barcelona). L’obra representa l’Escala de l’Enteniment, formada per vuit esglaons ascendents: pedra, flama, planta, bèstia, home, cel, àngel i, finalment, Déu. / Mètode

La Doctrina pueril és un manual d’educació primària que se centra en la formació cristiana. Llull ens hi proporciona el quadre dels coneixements sobre l’home i la natura que considerava bàsics. En primer lloc, es passa revista al trivi: de la gramàtica, la lògica i la retòrica, Llull recomana sobretot la segona. Del quadrivi interessa sobretot l’astronomia. La geometria i l’aritmètica serveixen per aprendre a mesurar i a calcular, i la música, per lloar Déu. Llull desaconsella l’estudi de la geometria i de l’aritmètica, perquè «arts són que requereixen tota la humana pensa, la qual ha a tractar de amar e contemplar Déu».

A propòsit de «De la ciència de natures» descriu els cinc «començaments de natura» i proposa en esquema la teoria dels quatre elements (foc, aire, aigua i terra), ordenats per les relacions de concordança i contrarietat. Per ampliar els coneixements hom suggereix la següent llista d’obres aristotèliques (o pseudo): Metafísica, Física, Del cel, De la generació i de la corrupció, Dels meteors, De l’ànima, Del son i de la vetlla, De la sensació i del sensible, Dels animals, De les plantes i de les herbes. Llull està descrivint la formació bàsica que s’adquiria a la facultat d’arts, que constituïa el primer cicle dels estudis universitaris medievals.

La Doctrina pueril completa el quadre amb una introducció elemental a la medicina hipocràtico-galènica inspirada en l’Isagoge de Joannici, present a l’Articella, el primer llibre de text de les facultats de medicina del segle XIII. Llull exposa el contingut de les «set coses naturals» (elements, complexions, humors, membres, virtuts, operacions i esperits), de les «sis coses no naturals» (alenar, fer exercici, menjar i beure, dormir i vetllar, omplir i buidar, i els accidents o passions de l’ànima), i de les «tres coses contra natura» (malaltia, ocasió de malaltia, accident morbós). Explica amb precisió les nocions de sanitat i malaltia tot descrivint una medicina preventiva, que inclou consells propis dels regiments de sanitat. Al capítol titulat «De la manera segons la qual hom deu nodrir son fill», Llull ofereix un petit regiment d’infància (vegeu Badia, Santanach i Soler, 2013).

Detall d’una miniatura de Ramon Llull del Breviculum de Karlsruhe, còdex del segle XIV sobre la vida del pensador mallorquí. / Any Llull

Llull reelabora el saber enciclopèdic del segle XIII

La principal innovació de Llull en el tractament del repertori de coneixements bàsics la trobem en el Fèlix o Llibre de meravelles, escrit a París entre 1287 i 1289 i que es pot considerar un manual de filosofia per a laics. En aquesta obra, que no té versió llatina, Llull fa servir els exemples i les semblances per a explicar fenòmens naturals a través de metàfores morals, polítiques o teològiques. Els exemples del Fèlix contenen materials al·legòrics, moltíssimes anècdotes sobre la conducta social de burgesos, cavallers i clergues, situacions de casuística moral individual i nocions de filosofia natural que gairebé sempre es presenten en connexió amb una realitat paral·lela teològica o moral. Les connexions d’aquesta mena es basen en la noció de semblança, és a dir, l’analogia que existeix entre els diferents ordres de la realitat. La informació significativa de la semblança no l’aporta el contingut de les dues unitats que es posen en relació, sinó l’analogia estructural que s’estableix entre totes dues (vegeu Badia, Santanach i Soler, 2013).

Llull va formular la funció pedagògica de l’analogia entre la realitat divina, física i moral als Començaments de medicina, de 1274-1276, donant un sentit especial al terme metàfora. Com pot ser que es parli de la trinitat i de l’encarnació o dels principis del dret en una obra que descriu les bases de la ciència dels metges? Doncs perquè parlant a través de metàfores, és a dir, de connexions analògiques, els metges puguin accedir a coneixements teològics o jurídics partint de les seves competències específiques.

El Llibre de meravelles és la versió en forma d’enciclopèdia per a laics de l’Art demostrativa, la primera formulació completa del mètode general lul·lià per a totes les ciències i els sabers. Els exemples del Llibre de meravelles estan pensats per fer arribar a un públic no acadèmic tots els coneixements que porten l’home a la salvació: la forma literària que els envolta ajuda a fer les connexions amb els continguts.

«Els exemples del ‘Llibre de meravelles’ estan pensats per fer arribar a un públic no acadèmic tots els coneixements que porten l’home a la salvació»

L’Arbre de ciència és el més elaborat dels repertoris de coneixements bàsics lul·lians: és una «nova» enciclopèdia, en el sentit que Llull dóna a l’adjectiu nou quan l’aplica a les reformulacions que ofereix per a les diverses ciències i activitats humanes, de la lògica a l’astronomia passant per la literatura. I és que l’Arbre de ciència no és altra cosa que una versió volgudament «fàcil» de l’Art de Llull, tal com l’havia reelaborada a partir de 1290 en la versió de quatre figures i divuit principis que culmina en l’Ars generalis ultima de 1305-1308. L’Arbre de ciència desplega catorze arbres temàtics (elemental, vegetal, sensual, imaginal, humanal, moral, imperial, apostolical, celestial, angelical, eviternal, maternal, cristianal i divinal) i dos d’instrumentals (exemplifical i qüestional). Les arrels de tots setze arbres són idèntiques: els nou principis de la Figura A (bonesa, grandesa, eternitat, poder, saviesa, voluntat, virtut, veritat i glòria) i els nou de la Figura T (diferència, concordància, contrarietat, principi, mitjà, fi, majoritat, igualtat i minoritat). Tots els arbres tenen set parts, de manera que tots s’organitzen d’una manera homòloga: arrels, tronc, branques, rams, fulles, flors i fruits (vegeu Badia, Santanach i Soler, 2013).

La ciència universitària a la qual Llull va dedicar més atenció és la medicina. Però en les obres sobre la ciència de la salut no parla de guarir pacients, sinó de reduir els principis de la teoria mèdica heretada a una sistemàtica matematitzable, que faciliti els diagnòstics i la confecció de medicaments compostos. / Biblioteca Virtual del Patrimoni Bibliogràfic, Ministeri d’Educació, Cultura i Esports

Els dos arbres instrumentals de l’Arbre de ciència són l’Arbre dels exemples i l’Arbre de les qüestions. L’Arbre dels exemples proporciona matèria primera per a la predicació, a través del que Pring-Mill (1991) va descriure com la «transmutació de la ciència en literatura». L’Arbre de les qüestions, a més de presentar una clara finalitat didàctica –repassar els continguts–, desplega la funció inventiva de l’Art, és a dir, la de deduir nocions particulars de les generals. L’esforç de sistematització del saber a l’Arbre de ciència descansa sobre la natura homòloga de l’estructura arbòria i la identitat de les arrels i descarta el designi de catalogar totes les dades propi de les enciclopèdies convencionals acumulant informació de detall: Llull no explica què són les coses, sinó quines són les relacions entre les coses integrades en una concepció global del coneixement.

Les monografies científiques de Llull

La ciència universitària a la qual Llull va dedicar més atenció és la medicina. Tenim quatre monografies de tema mèdic: Començaments de medicina (1274-1278), l’Ars compendiosa medicinae (1285-1287), el De levitate et ponderositate elementorum (Nàpols, 1294) i el Liber de regionibus sanitatis et infermitatis (Montpeller, 1303). Només la primera s’ha conservat en versió catalana. Les obres de Llull sobre la ciència de la salut no constitueixen un corpus autònom amb una projecció, diguem-ne, clínica. Llull no parla, en efecte, de guarir pacients, sinó de reduir els principis de la teoria mèdica heretada (Hipòcrates, Galè, Avicenna, Averrois, Rhazes, al-Kindi) a una sistemàtica matematitzable, que faciliti els diagnòstics i la confecció de medicaments compostos. Vegem com ho fa als Començaments de medicina (Badia, 2004). El tractat s’articula, a través d’una figura, en tres arbres o branques arbòries que arrelen sobre els quatre humors (còlera, sang, flegma, malenconia), és a dir, la ciència mèdica ensenyada a les universitats de què es parla a la Doctrina pueril.

«La principal innovació en el tractament del repertori de coneixements bàsics la trobem en el ‘Fèlix’ o ‘Llibre de meravelles’, que es pot considerar un manual de filosofia per a laics»

La innovació més operativa d’aquesta primera incursió de Llull en la medicina és el mecanisme del «venciment», devictio en llatí, un procediment que permet calcular quines qualitats elementals predominen en qualsevol mescla de components dotats de complexió (humida, seca, freda o calenta), segons el nombre d’ocurrències i les condicions de pròpies i apropiades de les qualitats implicades. Així, el venciment permet calcular la composició elemental de les mescles per a la preparació de fàrmacs. Amb això Llull solucionava un problema tècnic dels seus dies. Els compiladors àrabs havien transmès a l’occident cristià diverses interpretacions de la teoria galènica dels graus de presència de les qualitats dels quatre elements (calor, secor, fredor, humitat) en les herbes i altres elements anomenats «simples» que servien per preparar els medicaments «compostos»; aquestes interpretacions eren objecte de debat a les universitats. Concretament a Montpeller va ser Arnau de Vilanova l’autor d’uns Aphorismi de gradibus (1308), que semblen respondre a un substrat de discussions comú a la solució creativa que proposa Llull.

En astronomia la troballa lul·liana del venciment serveix per interpretar les conjuncions dels astres entre ells i amb els signes zodiacals jugant amb la composició elemental dels uns i dels altres. El venciment astrològic lul·lià facilita la formulació dels «judicis» astrològics: és un procediment fàcil i econòmic, que pot donar un cop de mà als qui, com diu Llull, «han treball» en un estudi massa llarg o costós. Això és el que promet el pròleg del Tractat d’astronomia (1297), una altra monografia científica que s’ha conservat en versió catalana. La descripció dels dotze signes i dels set planetes, amb les característiques de la tradició ptolemaica de transmissió àrab, es complementa amb la dels principis de l’Art, presos de la Taula general. La discussió de cada un dels principis de la Taula general aplicats als planetes i al zodíac obre la porta dels «secrets» astronòmics, és a dir les influències que causen els fenòmens naturals com les estacions o les malalties de les diferents parts del cos. Atenció: els astres no influeixen la voluntat, altrament l’home no seria lliure de triar entre el bé i el mal.

Com en el cas dels Començaments de medicina, l’aportació teòrica de Llull a l’astronomia, que era una de les disciplines escolars del quadrivi com hem vist a propòsit de la Doctrina pueril, té dos vessants: el sistemàtic i el pràctic. En aquest darrer sector és on esmenta unes taules de les posicions dels astres. Ho fa sense cap especial èmfasi, com parlant d’un material d’ús, donat, accessible.

Els grafs mostren relacions entre parelles d’objectes o conceptes com les que s’estableixen entre els vèrtexs interconnectats per arestes. Llull també va trobar la manera de representar relacions binàries en versió tabular, tal com s’observa en aquesta figura de l’Art breu. / Centre de Documentació Ramon Llull

El desinterès per les taules contrasta amb l’esment de l’astrolabi a la Doctrina pueril, presentat com una eina per mesurar el temps a través de la projecció de l’ombra del sol, i sobretot amb la descripció de l’esfera de la nit o nocturlabi, que és un aparell documentat a Europa des del segle X. El tercer aparell de mesura esmentat per Llull, també a la Doctrina pueril, és el quadrant, del qual es diu que serveix per calcular l’alçada d’una torre: Llull proposa un problema de mesura altimètrica d’interès militar documentat en textos de geometria pràctica medievals.

Ramon Llull i el raonament diagramàtic

És un lloc comú de les presentacions de Llull i del lul·lisme citar la influència de l’Art de Llull en el càlcul combinatori que Gottfried Wilhelm Leibniz va formular per primer cop. A la seva Dissertatio de arte combinatoria de 1666, el fundador d’aquest filó de les matemàtiques reconeix que l’Art és un precedent de la seva troballa perquè va saber calcular el nombre de combinacions possibles a partir d’uns elements donats amb mitjans gràfics enginyosos i eficaços (vegeu el segon volum de Carreras i Artau i Carreras i Artau, 2001).

Al capítol 24 del Romanç d’Evast e Blaquerna Llull proposa un procediment per elegir l’abadessa d’un monestir i reprèn el tema als breus tractats Artificium electionis personarum, del 1274-1283, i De arte electionis, del 1299. El sistema de votació de Llull, a mig camí entre la democràcia i la recerca del candidat objectivament més qualificat, proposa l’anàlisi d’un cert nombre de combinacions binàries entre els vots d’un reduït grup de compromissaris prèviament escollits. Els procediments d’elecció lul·lians són el precedent indiscutible d’una branca de la matemàtica aplicada moderna, la teoria de la votació, que es va començar a desenvolupar a França al temps de la Revolució i que no ha estat desenvolupada del tot fins a la dècada dels quaranta del segle passat.

En un article de 2007 Anthony Bonner i Albert Soler ofereixen l’estudi codicològic del manuscrit més antic de l’Ars compendiosa inveniendi veritatem, el Vat. Lat. 5112, que és una versió de l’Art que Llull va escriure immediatament després de la il·luminació de Randa el 1274. Llull expressa el seu sistema per primer cop a través de diagrames circulars i tabulars; les explicacions en prosa –el text pròpiament dit– estan presentades com una glossa afegida. A l’Art demostrativa, que és la versió més completa de la primera fase de l’Art, la fase dita quaternària, les figures passen a ser una mena de complement gràfic d’un llibre que es presenta en un format més estàndard. Llull va treballar tota la vida per obtenir una formulació de la seva intuïció original que fos d’ús fàcil i còmode per als seus lectors. El punt d’arribada és l’Ars generalis ultima de 1305-1308, que compta amb una versió de butxaca, l’Art breu, de 1308.

Estirant el fil de la naturalesa i la funció de les figures en les Arts de Llull, Anthony Bonner i Albert Soler han localitzat dues noves mostres d’intuïció matemàtica en el nucli dur del sistema lul·lià: la teoria dels grafs s’amplia amb la dels hipergrafs i la dels reticles. La figura S de l’Art demostrativa, un hipergraf de base quatre, relaciona les potències de l’ànima, enteniment, memòria i voluntat en l’acte del coneixement. / Centre de Documentació Ramon Llull

Anthony Bonner ha identificat i descrit l’ús d’organitzacions relacio­nals en forma de graf a les Arts lul·lianes de la primera fase a L’Art i la lògica de Ramon Llull. Manual d’ús (vegeu Bonner, 2012). Els grafs mostren relacions entre parelles d’objectes o conceptes. Llull també va trobar la manera de representar relacions binàries en versió tabular: són les que anomena segones figures, formades per uns triangles de caselles. Aquests triangles de caselles són a les mitges matrius d’adjacència de la moderna teoria dels grafs.

Estirant el fil de la naturalesa i la funció de les figures en les Arts de Llull Anthony Bonner i Albert Soler han localitzat dues noves mostres d’intuïció matemàtica en el nucli dur del sistema lul·lià: la teoria dels grafs s’amplia amb la dels hipergrafs i la dels reticles (Bonner i Soler, 2015). Llull introdueix els hipergrafs a partir de les Arts de l’etapa ternària i afronta la dificultat de donar una representació en dues dimensions dels seus hipergrafs amb el recurs de les rodes giratòries, és a dir, les que tenen al seu interior diversos cercles concèntrics que es poden moure produint combinacions de tres o més elements. D’aquestes rodes giratòries, que als estudis diagramàtics s’anomenen volvelles, Llull només en va construir dues: la figura demostrativa de l’Art demostrativa, que no acaba encara de desenvolupar el mecanisme complet de l’hipergraf, i la Quarta figura de les Arts de la segona fase. La figura S de l’Art demostrativa, que relaciona les potències de l’ànima, enteniment, memòria i voluntat en l’acte del coneixement, és un hipergraf de base quatre sense aparat giratori.

La Figura Elemental de les Arts de la primera frase també és un hipergraf, però Llull la resol aplicant una altra intuïció representativa, que modernament s’ha desenvolupat a través de la teoria dels reticles (lattices en anglès), com una expansió de teoria matemàtica de conjunts. La teoria dels reticles és present a les representacions lul·lianes de la Figura Elemental dels Començaments de medicina i de l’Art demostrativa. La funció estructuradora dels grafs, dels hipergrafs i dels reticles permet de definir les figures de l’Art com un exemple del que, en la moderna ciència, la tecnologia o l’administració d’empreses, s’anomena raonament dia­gramàtic.