Els grups apareixen en Matemàtiques i en les Ciències de la Naturalesa davant qualsevol situació que presenta simetries, com ara en un poliedre regular, una molècula, una xarxa cristal·lina, etc. o en certes permutacions de les arrels d’una equació algebraica. És necessari elaborar una teoria que els estudie en si mateixos i en relació amb el context en què apareixen.
És ben conegut que els grups proporcionen mètodes eficaços d’estudi, la seua aparició en un àmbit determinat posa de manifest un cert ordre intern que ajuda a conèixer-lo. Ara bé, en paraules de R. Brauer, els grups són capaços de posar ordre en casa aliena, però troben dificultats per organitzar la seua. Això no obstant hi ha mètodes adequats per a estudiar-los, en particular, els que tenen un nombre finit d’elements.
Entre aquests mètodes destaquen els caràcters i les representacions per matrius complexes. Un caràcter és una funció definida en tots els elements del grup els valors de la qual són nombres complexos. Això permet de fer servir les operacions amb nombres per obtenir informació sobre el grup en qüestió. Doncs bé, tot caràcter es pot analitzar en termes d’una col·lecció finita de caràcters, anomenats irreductibles, que no poden ser reduïts a d’altres de més petits. Són les peces bàsiques que permeten de reconstruir qualsevol caràcter. La teoria de caràcters, que enguany fa cent un anys, permet d’obtenir propietats dels grups fins ara inassolibles per altres mètodes. Aquesta teoria anomenada ordinària arriba a un alt grau de maduresa en el primer terç d’aquest segle.
En els anys trenta, R. Brauer inicia una sèrie impressionant de treballs que refina la teoria de caràcters i aconsegueix, entre altres coses, fer reductible el que fins llavors no ho era. Per aconseguir-ho localitza el problema al voltant d’un divisor primer de l’ordre del grup, i introdueix noves funcions amb valors complexos definides tan sols en certs elements del grup, els més aliens al nombre primer donat, anomenats regulars. Aquestes funcions, els caràcters de Brauer, també s’expressen en termes d’un nombre finit d’irreductibles. Limitant-nos als elements regulars, els caràcters ordinaris irreductibles s’expressen com a suma de caràcters de Brauer irreductibles, procediment que millora el coneixement d’aquells. Més encara, optimitzem la relació entre les dues col·leccions de caràcters irreductibles agrupant-les en blocs de manera que cada caràcter irreductible ordinari d’un bloc és expressable únicament en termes dels caràcters irreductibles de Brauer del seu bloc.
Hem glossat breument les paraules clau del títol del llibre de Gabriel Navarro: Grupo finito, carácter y bloque. Fem-ne ara un breu comentari.
En els tres primers capítols, s’aconsegueix de manera molt eficaç posar el lector en possessió dels conceptes centrals i de les primeres propietats de la teoria que, després dels tres teoremes principals clàssics, és aplicada a la resolució de problemes estructurals molt complexos dels grups finits. El capítol setè és un bon exemple del que són aquests problemes i del grau d’elaboració de la seua resolució. La teoria s’aplica després a casos particulars importants en què són vàlids resultats que no ho són en el cas general o que encara continuen oberts. Els dos darrers capítols són exemples d’aquesta situació. Vull insistir a dir que en aquest llibre es combinen encertadament teories completament desenvolupades amb les seues aplicacions, es donen demostracions actualitzades de resultats clàssics i se n’inclouen d’altres de molt recents. Llevat del capítol setè, la resta inclouen col·leccions de problemes i exemples. En suma, recomane aquest llibre a tota persona coneixedora de la teoria ordinària de caràcters que vulga fer el pas següent. Posseirà un mètode eficaç per a l’estudi dels grups finits i una elaborada teoria algebraica.
