Alguns problemes d’àlgebra

Some Algebraic problems. We follow mathematical development through the evolution of some classic algebraic problems. These problems were born with human civilisation, reflecting its needs, limitations and sometimes its beliefs.

Seguim el desenvolupament de les matemàtiques a través de l’evolució d’alguns problemes clàssics d’àlgebra. Van ser problemes que nasqueren amb la civilització humana, de les seues necessitats, de les seues limitacions i, de vegades, de les seues creences.

Els problemes clàssics de construccions amb regle i compàs

Segons Plató, les úniques figures geomètriques perfectes són el cercle i la línia recta, i així en l’antiga geometria grega, aquesta creença tingué l’efecte de restringir els instruments vàlids en les construccions geomètriques al regle i al compàs. D’altra banda, sempre és possible trobar a l’abast aquests instruments, i eren dels pocs utilitzables per mesurar grans magnituds i per fer plànols i perspectives. Amb aquests instruments es poden traçar biseccions d’angles i també rectes paral·leles… però hi ha tres famoses construccions impossibles de fer amb tan poques eines:

– Duplicació del cub: construir un cub el volum del qual és el doble que el d’un cub donat.

– Trisecció d’un angle: donat un angle qualsevol, construir un angle que siga la tercera part de l’inicial.

– Quadratura del cercle: construir un quadrat que tinga l’àrea d’un cercle donat.

Hi ha moltes versions sobre l’origen del problema de la duplicació del cub, com ara l’intent de Minos, rei de Creta, de duplicar la tomba del seu fill Glauc o la petició dels sacerdots d’Apol·lo a Plató perquè els ajudara a resoldre el problema de duplicació de l’altar que havia estat proposat per l’oracle de Delos. Explicacions més raonables podrien ser que una vegada tractat el problema de duplicació del quadrat (construir un quadrat de doble àrea que un donat) i en general la duplicació de polígons, s’intentarà el problema anàleg amb el cub o simplement que es tractara el problema pràctic de construir sòlids de la mateixa forma que un d’inicial però de volum múltiple del primer.

A hores d’ara un alumne de la llicenciatura de matemàtiques pot demostrar per un procediment bastant elemental la impossibilitat de la resolució d’aquests problemes amb els mètodes indicats, atès que els nombres reals, per a ser construïbles, han de ser arrels de polinomis irreductibles sobre els racionals de grau potència de 2, condició que no compleixen ni el nombre real arrel cúbica de 2, arrel del polinomi x³–2, ni cos20° que és arrel de 8x³–6x–1, polinomi irreductible sobre Q, ni el nombre π, que no és arrel de cap polinomi racional no nul. Les solucions a aquests problemes es van obtenir a partir de la meitat del segle XIX (Lindemann provà l’any 1882 la transcendència de π).

En conseqüència no és possible duplicar un cub de volum 1, ni trisecar l’angle de 60°, ni quadrar un cercle d’àrea π.

Una qüestió de solució més sofisticada és la següent: per a quins valors de n pot ser construït el polígon regular de n costats mitjançant regle i compàs?

Els antics grecs coneixien la construcció dels polígons de 3, 5 i 15 costats. Aquest problema estava relacionat amb un dels esmentats adés, perquè segons es pogueren dividir els angles en n costats. Però no va ser fins 1796 que Gauss, en les seues Disquisitiones Arithmeticae resolgué el problema i va provar que el polígon regular de n=2rp1pS, on els pi són primers de Fermat (és a dir, de la forma 2m + 1). Estranyament de primers de Fermat, solament se’n coneixen cinc: 3, 5, 17, 257 i 65.537. També Kepler va participar en la resolució del problema raonant que el polígon regular de set costats no podia ser construït amb regle i compàs. Anecdòticament, segons es cita en el Manifest geomètric, plus ultra de la geometria pràctica, obra del mestre en teologia fra Ignacio Muñoz, catedràtic propietari de matemàtiques de la Reial Universitat de l’Imperi Mexicà, el polígon regular de set costats és construïble per regle i compàs, possibilitat que relaciona amb la trisecció d’un angle, i amb aquests arguments construeix una triple invectiva contra l’heretge Kepler.

Segment auri… i divina proporció

En relació amb les construccions de polígons regulars mitjançant regle i compàs apareix la divina proporció o la proporció àuria, introduïda per Luca Pacioli el 1509. Aquesta proporció és 2cos (2 π/5) i està relacionada amb el pentàgon regular de diverses maneres, entre altres com ara la relació existent entre una diagonal i un costat o com la proporció existent entre els segments d’una diagonal separats pel punt de tall d’aquesta diagonal i altra sense vèrtex comú amb l’anterior. La definició de la divina proporció sorgeix com el resultat de dividir un segment de longitud arbitrària x en dues parts, una de longitud major b i una altra de longitud xb, de manera que x/b=b/x–b.

Aquesta proporció origina polígons i políedres auris i en general figures àuries en què d’alguna manera apareix la divina proporció entre les seues mesures. La influència de la proporció és tal que Kepler escriu: “d’aquesta proporció geomètrica es va servir el Creador com la idea mitjançant la qual va introduir la generació contínua d’objectes semblants a partir d’objectes donats”. És clar que Kepler devia tenir en ment l’explicació. Fibonacci (Leonardo de Pisa) va introduir la successió del seu nom en relació amb estimacions sobre reproducció de conills. En la successió de Fibonacci cada terme a partir del segon és la suma dels dos anteriors i el límit de la successió (ƒn / ƒn+1) és la divina proporció, proporció que també intervé en el creixement d’arbres i plantes. La influència cultural de la proporció àuria va ser considerable durant el renaixement. Luca Pacioli va escriure un llibre sobre les seues propietats i la seua intervenció es pot veure en les imatges que s’adjunten.

Observeu que la proporció àuria és la solució d’una equació de segon grau.

Resolució d’equacions per radicals

El problema de resolució d’equacions per radicals té dues facetes. La primera és si donada una equació polinòmica d’un cert grau les solucions de la dita equació es poden expressar mitjançant operacions racionals (sumes, diferències, productes i quocients) i radicals (extracció d’arrels) dels coeficients. La segona, si es pot donar una fórmula general per resoldre per radicals una equació polinòmica d’un grau donat.

La resolució d’equacions polinòmiques té també una llarga història. Els antics grecs resolien equacions quadràtiques mitjançant construccions geomètriques. S’afirma que els babilonis (400 a. C.) van ser els primers a resoldre equacions quadràtiques, tanmateix els babilonis no tenien la noció d’equació, més aviat disposaven d’un mètode algorítmic que equivalia en la pràctica a la resolució d’una equació quadràtica.

Sobre la resolució de la cúbica, l’any 1494 Pacioli va acabar la seua Summa di aritmetica amb la nota que la solució de les equacions x³+mx = i  x³+n=mx era tan impossible en aquell moment com la quadratura del cercle. Són els matemàtics del renaixement establerts a Bolonya els qui troben la solució. Hi va haver molta polèmica sobre qui va ser el primer, si Scipio del Ferro o Niccolo Fontana (Tartaglia), encara que el primer a publicar la solució va ser Cardano en la seua Ars Magna apareguda el 1545; en la dita obra apareix també un mètode per a resoldre la quàrtica per reducció a una cúbica.

Era el moment de passar a l’equació quíntica. La primera persona a afirmar que l’equació de grau 5 no es podia resoldre va ser Ruffini l’any 1799, en un treball en què també introdueix els grups de permutacions. Això no obstant Lagrange, a qui Ruffini va enviar la seua obra, no va llegir aquesta demostració, que, per altra part, presentava alguns errors. L’any 1824 Abel va donar la primera demostració acceptada d’irresolubilitat de l’equació de grau 5, utilitzant també el llenguatge de la teoria de grups de permutacions. Però realment va ser Galois, el 1831, el primer a relacionar la resolubilitat d’una equació amb l’estructura del grup de les permutacions de les arrels de la dita equació. I a trobar que el grup simple no abelià més petit és d’ordre 60. Evariste Galois va morir en un duel, als 21 anys, el 31 de maig de 1832. Se sol dir que ell va ser l’únic matemàtic que va passar la seua darrera nit escrivint tot el que sabia de teoria de grups. El seu genial descobriment va ser també motivació del naixement de la teoria de grups. De fet aquesta teoria semblava embolcallar-ho tot. Klein, el 1872, va proposar en el seu Programa d’Erlangen la classificació en geometria a través dels invariants pels seus grups de transformacions. 1872 és un any famós pels resultats obtinguts en teoria de grups, d’aquest any són els teoremes de Sylow. Però hi ha altres anys importants: 1927 pels teoremes de Hall, 1963 pel teorema de Feit i Thompson, 1981 per la classificació de grups simples.

Les aplicacions de la teoria de grups són considerables, encara que això es quedarà per a un altre article. De fet, cursos de grups apareixen en facultats de química, física, informàtica i algunes de matemàtiques, tot i que, amb massa freqüència, aquestes aplicacions se solen oblidar.

Com a conseqüència d’aquestes ratlles es podria deduir que els problemes de matemàtiques que són importants, és a dir, els naturals, els que hi van existir des de sempre, els que justifiquen que es faça servir la paraula teorema, són problemes per als quals s’ha trobat solució definitiva mitjançant teoremes algebraics. Que haja conclós aquest article destacant la rellevància de la teoria de grups té com a justificació el meu interès personal en la matèria. Per això i per la limitació d’espai, no he tractat altres aspectes tan decisius i importants en àlgebra com la teoria de grups, com ara la geometria algebraica, amb la seua resolució de singularitats i les seues implicacions tant en àlgebra commutativa com en la teoria de nombres; o la teoria de nombres, amb el seu teorema de Shafarevich, o el famós teorema de Fermat. Això no obstant, problemes de tanta transcendència com els esmentats apareixen en tots els camps de les matemàtiques. Des d’ací vull manifestar el meu respecte per tots i pels qui gaudeixen treballant amb il·lusió en tots els seus aspectes, molt especialment pels qui han sabut i els qui saben, amb els seus coneixements i el seu exemple, dirigir i convèncer d’altres perquè seguesquen aquest camí.

Francisco Pérez Monasor. Facultat de Matemàtiques, Universitat de València.
© Mètode 24, Hivern 1999/00. 

 

Sandro Botticelli és probablement qui més va diversificar els esquemes de la Divina Proporció. Havia après el traçat del pentàgon en el taller del seu mestre Fra Filippo Lippi. En La Primavera Botticelli representa un rectangle auri, on queden inscrits dos cercles que enquadren Venus i Cupido, les tres Gràcies, Mercuri, Cèfir i Flora. 

«La definició de la divina proporció sorgeix com el resultat de dividir un segment de longitud arbitrària x en dues parts, una de longitud major b i unaaltra de longitud x–b, de manera que
x / b = b / x – b»

© Mètode 2013 - 24. Temps de matemàtiques - Número 24. Hivern 2000

Facultat de Matemàtiques, Universitat de València.