El nombre d’autoenllaç d’una corba tancada en l’espai

The self-linking number of a closed space curve.The self-linking number is a geometrical invariant, which measures the coiling of a curve in space. It is of great interest in biology, where it is applied to the classification of DNA molecules.

Tots hem patit alguna vegada l’odiosa tasca de desenrotllar el nostre cable de telèafon. Al principi, el cable penja ordenadament del nostre aparell, però a mesura que passa el temps, i encara que el cable estiga desnuat, sempre acaba enrotllant-se d’una manera diabòlica. Aquest fenomen de enrotllament, no sols apareix en els cables telefònics, sinó que també es pot trobar, i d’una manera molt més acusada, en les molècules d’ADN, les quals poden arribar a presentar diversos nivells d’enrotllament.

Per tal d’entendre bé la naturalesa d’aquest procés, podem fer un experiment ben senzill. Agafem un tros de cable pels seus extrems amb les dues mans. Si unim els extrems, aleshores el cable forma una corba tancada sense enrotllar-se. El resultat és ben diferent si abans d’unir els extrems, en subjectem un amb una mà i amb l’altra comencem a retòrcer el cable donant-li moltes voltes, sempre en el mateix sentit. En aquest cas, quan unim de nou els extrems, el cable tendeix a formar una corba molt enrotllada, segons el nombre de voltes que hajam donat al cable.És clar que, per molt que tesem el cable, és impossible desfer aquest enrotllament, si no és que desunim els extrems i tornem a donar-li voltes, aquesta vegada en sentit invers.

En el cas del telèfon, el cable forma una corba tancada quan el telèfon està penjat. Aleshores, quan sona i el despengem estem obrint la corba i és en aquest moment quan estem en perill d’augmentar el seu nivell d’enrotllament. En efecte, suposem que inicialment agafem el telèfon amb la mà esquerra, després el canviem a la mà dreta durant la conversa i finalment acabem penjant-lo amb la mà dreta. Resulta que, sense adonar-nos, hem fet una volta sencera al cable que acabarà produint aquest enrotllament. Les molècules d’ADN estan constituïdes per una doble hèlix que forma una corba tancada amb un alt nivell d’enrotllament. Per tal de separar-les, aquestes molècules són sotmeses a processos de centrifugat, els quals produeixen deformacions contínues de les corbes que deixen inalterat el nombre de voltes característic de cada corba.

    Aquest nombre de voltes que produeix l’enrotllament del cable telefònic o de la molècula d’ADN és el que en geometria s’anomena el nombre d’autoenllaç d’una corba tancada en l’espai. Es tracta d’un invariant geomètric que va ser definit per Calugareanu a finals dels cinquanta i estudiat amb més profunditat posteriorment per Pohl. Aquest nombre està ben definit sempre que la corba tancada complesca dues condicions:
— És simple, és a dir, no té autointerseccions.
— És diferenciable almenys dues vegades i té curvatura no nul·la en cada punt.

La primera condició és fàcil d’entendre: una autointersecció de la corba seria equivalent a la possibilitat de tallar la corba per algun punt, amb la qual cosa seria possible desfer l’enrotllament. La segona condició és un poc més complicada de veure: des del punt de vista matemàtic, una corba és un objecte geomètric unidimensional, és a dir, és com si tinguérem un fil infinitament fi; aleshores, per tal de donar una certa torsió a la corba és necessari que estiga almenys un poc corbada, ja que si la tesem, aquesta torsió desapareix.

Encara que és possible calcular el nombre d’autoenllaç d’una corba analíticament mitjançant l’anomenada integral de Gauss i la integral de la torsió, explicarem com calcular-lo utilitzant una projecció bidimensional. Quan projectem la corba en un pla, poden aparèixer una sèrie de punts aparents d’autointersecció i de curvatura nul·la. Elegim una orientació qualsevol de la corba i a cadascun d’aquests punts li assignem un signe + o – segons la posició relativa de les branques de la corba al voltant del punt. Banchoff va demostrar que el nombre d’autoenllaç és igual a la suma del nombre d’autointerseccions més la meitat del nombre de punts de curvatura nul·la, comptats amb signe (figura 2).

El nombre d’autoenllaç és sempre un nombre enter, que pot ser positiu o negatiu, segons les voltes vagen en un sentit o altre. A més a més, és invariant per isotopies. Això vol dir que si podem passar d’una corba a l’altra mitjançant una família contínua de corbes tancades, simples i amb curvatura no nul·la, aleshores ambdues corbes han de tenir el mateix nombre d’autoenllaç. Cal observar també, que si dues corbes són isotòpiques en aquest sentit, llavors presenten el mateix tipus de nus. La topologia és la branca de les matemàtiques que s’ocupa dels objectes que són equivalents a través de deformacions contínues i, precisament, la teoria de nusos és la part de la topologia que estudia les corbes tancades i simples en l’espai. Per a un topòleg, dues corbes presenten el mateix tipus de nus si és possible passar d’una a l’altra mitjançant una família contínua de corbes tancades i simples (sense tenir en compte la curvatura).

No obstant això, el nombre d’autoenllaç no és un invariant topològic de la corba. És a dir, podem tenir corbes amb el mateix tipus de nus, però amb diferent nombre d’autoenllaç (figura 2). A més a més, l’experiència ens diu que es tracta de conceptes totalment independents. Tornem de nou a l’exemple del cable: si tenim un extrem del cable en cada mà, és clar que podem construir un tipus de nus qualsevol; aleshores, abans d’unir els extrems, també podem donar-li un nombre de voltes qualsevol, la qual cosa no modificarà el tipus de nus.

    Per últim, només afegirem que la relació d’aquests conceptes amb les isotopies és ben forta: si dues corbes tenen el mateix tipus de nus i el mateix nombre d’autoenllaç, aleshores són isotòpiques. Encara que alguns autors atribueixen al mateix Pohl una demostració no publicada d’aquest resultat, recentment Gluck i Pan n’han fet pública una.

Juan J. Nuño Ballesteros. Facultat de Matemàtiques, Universitat de València.
© Mètode 24, Hivern 1999/00.

 

Figura 1: Imatge microscòpica d’una molècula d’ADN.

«Agafem el telèfon amb la mà esquerra, després el canviem a la mà dreta durant la conversa i finalment acabem penjant-lo amb la mà dreta. Resulta que, sense adonar-nos, hem fet una volta sencera al cable que acabarà produint aquest enrotllament»

 

 

 
Figura 2: Dues presentacions del nus trèvol amb nombres d’autoenllaç – 4 (baix) i – 3 (dalt).

© Mètode 2013 - 24. Temps de matemàtiques - Número 24. Hivern 2000

Facultat de Matemàtiques, Universitat de València.