Entre les matemàtiques i la música

Music and Mathematics. The important link between music and mathematics has varied throughout History. During the XX Century, some composers have sought inspiration using mathematics as a prime source, as shown by, for instance, the development of fractal music in recent years.

L’evolució de la música i les matemàtiques al llarg de la història ha marcat el tipus de relació existent entre totes dues matèries en cada moment del seu desenvolupament. A pesar que el substrat subjacent a cada una d’aquestes disciplines es remunta als orígens de l’ésser humà, no és possible parlar de l’existència de nexes d’unió fins que apareixen els primers signes de teorització tant en les matemàtiques com en la música.

És a Grècia on els principis unificadors, que constitueixen el nucli tant de les matemàtiques, d’una banda, com de la música, d’una altra, aconsegueixen un grau suficient de maduresa perquè s’establesquen les primeres relacions. Ambdós termes procedeixen respectivament dels vocables grecs musiké, “de les muses”, i mathema, que significa “allò que s’aprèn”.

«No és possible parlar de l’existència de nexes d’unió entre les Matemàtiques i la Música fins que no hi apareixen els primers signes de teorització»

La concepció clàssica de la música com un subconjunt de les matemàtiques va perdurar durant l’edat mitjana, i no va ser fins al segle xii quan es va crear una nova divisió de les ciències, anomenada escolàstica divina, que no la incloïa específicament. Paral·lelament, compositors i executants van començar a separar-se de la tradició pitagòrica creant nous estils i tipus de música.

El canvi de paradigma musical es pot veure en l’evolució del cant monòdic gregorià, que a poc a poc es va anar transformant en música polifònica amb diferents instruments i veus. D’altra banda, l’execució d’obres més complexes va portar a experimentar amb mètodes d’afinació alternatius que van donar lloc a una variació de l’afinació pitagòrica anomenada afinació justa. En el nou mètode es continuaven utilitzant les matemàtiques com a eina per a calcular els intervals, però oblidant els principis pitagòrics, amb la qual cosa s’abandonava el model de bellesa clàssic i la música es dissociava dels nombres. Aquest canvi d’actitud va causar desacord entre els matemàtics, que volien una adhesió estricta a les seues fórmules, i els músics, que buscaven regles fàcils d’aplicar.

L’ús de les matemàtiques per a la formalització i el càlcul de certs aspectes de les composicions fomenta l’aparició i permanència de dos tipus de situacions entre matemàtiques i música, ja considerades com a disciplines. D’una banda, continuant en certa manera amb la tradició pitagòrica, el músic a vegades estableix un esquema matemàtic per a la creació de les seues composicions que sobrepassa l’ús habitual donat a les matemàtiques; d’una altra, el músic crea l’obra de manera intuïtiva utilitzant cànons estètics, mancats aparentment de component formal, i és el matemàtic el que busca a posteriori un nexe entre l’obra i les matemàtiques.

Fotografies de Béla Bartók (1881-1945), qui va utilitzar la successió de Fibonacci com a patró per a determinar certs elements de les seues composicions. Aquest autor va desenvolupar una escala musical basant-se en la successió que va denominar escala fibonacci. Així mateix, en la seua obra Música per a instruments de corda, percussió i celesta, una anàlisi de la fuga mostra l’aparició de la sèrie i de la raó àuria.

Un element matemàtic que il·lustra els dos tipus de situació és la successió de Fibonacci. Els nombres de Fibonacci són els que formen la successió 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, en la qual a partir del tercer terme cada un d’ells és la suma dels dos anteriors. Aquesta successió té diverses propietats interessants; per exemple, la successió formada per les raons entre cada nombre de Fibonacci i l’anterior, 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5,…, té com a límit la raó àuria (1.618…). Aquesta proporció es pot trobar àmpliament tant en l’art com en estructures naturals.

Hi ha diferents autors, com és el cas de Béla Bartók (1881-1945), que han utilitzat la dita successió com a patró per a determinar certs elements de les seues composicions. Aquest autor va desenvolupar una escala musical basant-se en la successió que va denominar escala fibonacci. Així mateix, en la seua obra Música per a instruments de corda, percussió i celesta, una anàlisi de la fuga mostra l’aparició de la sèrie i de la raó àuria. D’altra banda, estudis realitzats sobre la Cinquena Simfonia de Beethoven (1770-1827) mostren que el tema principal inclòs al llarg de l’obra és separat per un nombre de compassos que pertany a la successió. També en diverses sonates per a piano de Mozart (1756-1791) la proporció entre el desenvolupament del tema i la seua introducció és la més pròxima possible a la raó àuria.

Relacions matemàtiques d’aquest estil s’han trobat també en la coral situada al final de Kunst der Fuge de Johan Sebastian Bach (1685-1750). Determinats motius s’hi repeteixen, per disminució a escales menors, una vegada i una altra amb distintes variacions dins d’una regió major de la peça. Així, per exemple, diverses veus repeteixen al doble de velocitat la melodia de la veu principal. Aquest és un exemple de peça musical autosemblant, que, com veurem més endavant, és una característica de la geometria fractal, un concepte matemàtic de finals del segle XX. Hi ha treballs que analitzen la manifestació d’aquestes característiques fractals en altres obres, com en el tercer moviment de la sonata número 15 de Beethoven i el triangle de Sierpinski, o l’analogia entre el conjunt de Cantor i la primera Ecossaisen de Beethoven.

El segle XX, música d’avantguarda

Cal dir que tant els músics com els matemàtics a partir del segle XIII no han viscut aquestes situacions d’una manera representativa. Únicament s’han donat casos aïllats de músics que, com a entreteniment o curiositat, han utilitzat desenvolupaments formals a les seues obres, o d’alguns matemàtics que han buscat relacions matemàtiques en obres ja escrites. No és fins al segle XX quan la necessitat de noves mescles de sons impulsa, de la mà de músics d’avantguarda, la recerca de noves matèries primeres per a la inspiració dins de l’univers conceptual de les matemàtiques.

«La necessitat de noves mescles de sons impulsa la recerca de noves matèries primeres per a la inspiració dins de l’univers conceptual de les matemàtiques»

Un primer exemple de músic contemporani que se serveix de les matemàtiques el trobem en Joseph Schillinguer. Aquest músic teòric rus, emigrat a Estats Units, va desenvolupar, durant la dècada dels vint i trenta, un detallat sistema de composició musical basat en principis científics. A pesar que aquests estudis de Schillinguer encara no gaudeixen de reconeixement massiu, la seua obra ha influït enormement en la música del segle XX, especialment en músics com George Gershwin, Glenn Miller o Benny Goodman, entre altres.

La base del sistema de Shillinguer és geomètrica i es fonamenta en el concepte de relacions de fase de moviments periòdics simples. Schillinguer va trobar distintes formes de projectar aquestes relacions en el ritme, però també en àrees molt menys òbvies com el to, l’escala, els acords, la progressió harmònica, i fins i tot en els aspectes semàntics i emocionals de la composició musical.

Hi ha qui considera que el sistema de Schillinguer va anticipar la música per ordinador abans que existiren els ordinadors, i que va introduir moltes tècniques algorítmiques de composició, fins i tot la utilització de sèries numèriques autosemblants.

Minuet
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
   29622141411051221130701212691124910914
   332612863146461348111739126561741811683
   469951581315355110246613915132735814579
   54017113851612159100901767346716052170
   61487416345809736107251436412576136193
   7104157271671546811891138711502910116223151
   81526017153991332112716155571754316889172
   91198411450140861699412088481665111572111
 109814242156751296212365771982137381498
 113871656113547147331024311641445917378
 125413010103283710653520108921212444131

 

Trio
17 18  19 20  21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
1726592581418913365467930951966
2568242741472671762064848354788
3753954165431580934934869589021
44073166829552612267497757873310
58332853371744706385329612235091
61845623842752941192248651607831

Alguns autors han elaborat tècniques basades en algorismes de molt fàcil maneig que permeten compondre obres sense tenir nocions de música o de composició. Una d’aquestes tècniques és la proposada per Mozart, la qual descriu un joc, Musikalisches Würfelspiel, que permet compondre un breu vals de 16 compassos jugant amb dos daus. Per això, Mozart va compondre 176 melodies diferents d’un compàs de duració cada una i dissenyà dues taules que codifiquen les melodies corresponents a la primera i la segona part del vals. Les columnes de cada taula es numeren amb nombres romans corresponents als vuit compassos de què està composta cada part del vals, els números del 2 al 12 a les files corresponen a la suma dels resultats i els nombres en la matriu corresponen a cada un dels 176 compassos. Per a determinar la melodia de cada un dels 16 compassos es llancen els dos daus i s’anota la suma del resultat.
Amb aquest mètode es poden compondre vora 750 trilions de valsos diferents.

L’exponent principal d’aquesta nova forma de composició és, sens dubte, la música de Iannis Xenakis (1921-2001). L’obra d’aquest autor contemporani és plena de traduccions de conceptes matemàtics al pla musical. Una de les seues composicions més conegudes és Metàstasi (1954). Aquesta peça és basa en el desplaçament continu d’una línia recta, model que es representa en la música com un glissando continu. La contracció i expansió del registre i la densitat a través del moviment continu il·lustren les lleis estocàstiques.

Dins del ventall de possibilitats que ha despertat el creixent interès pels conceptes matemàtics, es troba la música fractal. El naixement d’aquest nou corrent ha estat possible gràcies al desenvolupament de les noves tecnologies, utilitzades tant per a la generació per ordinador d’aproximacions a fractals amb alts graus de resolució, com per al modelatge dels primers esbossos de composició que s’obtenen en aquest procés creatiu.

«Tant la música fractal, com els mètodes de composició de Schillinguer  o la música de Xenakis són exemples de com en l’últim segle la música s’ha servit de les matemàtiques per a enriquir-se»

El principi fonamental de la música fractal està en la projecció del comportament dinàmic o l’estructura d’un fractal sobre un espai musical. El músic fractal és ara el que s’apropia de les matemàtiques com a font d’inspiració per a la seua obra, buscant traslladar al pla musical una sèrie de traços propis dels conjunts fractals.

   Les propietats essencials dels fractals utilitzats en la composició de música fractal són l’autosemblança i l’autoreferència. L’autosemblança implica invariança d’escala, és a dir, l’objecte fractal presenta la mateixa aparença independentment del grau d’ampliació amb què el mirem. Per més que s’amplie qualsevol zona d’un fractal, sempre s’aprecia una estructura complexa, en la qual apareix moltes vegades l’objecte inicial. L’autoreferència es refereix a la forma de construir el fractal. Aquests conjunts són el límit d’un procés recursiu que parteix d’un altre conjunt inicial diferent amb una expressió més simple.

El procés de traducció dels conceptes d’autosemblança i autoreferència al pla musical suposa ja un primer esforç creatiu per a l’autor de música fractal, el qual ha d’identificar arbitràriament elements de l’una i de l’altra disciplina. En el cas dels atractors estranys, una fórmula prou utilitzada a aquest efecte és la següent: una vegada seleccionat un sistema caòtic en un programa de música fractal, aquest genera aleatòriament valors per als paràmetres del sistema i comença a dibuixar els punts de l’atractor resultant. A mesura que els punts es van dibuixant, es reprodueixen les notes que li corresponen. Aquesta correspondència s’estableix dividint l’espai en què es dibuixa l’atractor amb una reixeta formada per regions quadrades i assignant a cada regió una nota. Per exemple, pot utilitzar-se la coordenada x per a decidir l’altura de la nota i la coordenada y per a decidir-ne la durada. L’òrbita o trajectòria d’un sistema caòtic va dibuixant, segons avança el temps, un atractor estrany en l’espai de fases. Aquesta evolució temporal en l’espai de fases es pot aprofitar per a obtenir una melodia que evolucione amb l’atractor.

La important relació entre música i mate­màtiques ha variat al llarg del temps. Durant el segle XX, alguns compositors han buscat en les matemàtiques matèries primeres per a la inspiració, com es posa de manifest, per exemple, en la música fractal desenvolupada en els últims anys.

En el cas de la utilització del conjunt de Mandelbrot com a generador de música fractal, la idea és la mateixa que la utilitzada amb atractors estranys. Triem un punt z del pla complex i realitzem successives iteracions mitjançant l’equació f(z)=z·z+c. Aquest procés iteratiu produirà una seqüència de punts complexos a què s’aplicarà una determinada transformació, convertint-los en notes musicals. Quan el mòdul del punt de la trajectòria siga superior a 2 (condició que garanteix que la trajectòria escaparà a l’infinit), la trajectòria i la melodia començaran de nou des del punt inicial.

Aquests programes tenen en compte una sèrie de consideracions que fan que el producte obtingut arran d’un d’aquests processos resulte tan agradable a l’orella com siga possible. Exemple d’això és que de l’enorme rang de freqüències que pot percebre l’oïda humana, pel que fa a la música preferim escales discretes. La majoria de les composicions musicals utilitzen tan sols vuit vuitenes (les mateixes que té un piano convencional), i la major part de les melodies usen només un petit subconjunt d’aquestes notes. També es té en compte que la resolució de la música és molt menor que la d’una imatge fractal, per la qual cosa utilitzar tota la informació disponible en un fractal produiria una composició excessivament llarga i complicada.

A pesar de les consideracions del programa, la informació musical proporcionada a partir d’un fractal concret sol resultar rara i desconcertant; per això el músic ha de realitzar una labor d’emmotllament que tinga com a producte final una composició agradable a l’orella humana. És principalment en aquest últim procés on l’artista desplega la seua faceta creativa.

  Tant la música fractal, com els mètodes de composició de Schillinguer, o la música de Xenakis, són exemples de com en l’últim segle la música s’ha servit de les matemàtiques per a enriquir-se. D’igual manera, aquesta relació ha tingut lloc en l’altra direcció en forma d’estudis enfocats a trobar una mesura de certs traços estètics d’una composició basant-se en modelitzacions matemàtiques.

© Mètode 2013 - 37. Fons i forma - Primavera 2003