|
John Robinson’s Symbolic Sculpture. J. Robinson’s symbolic sculpture is inspired by a diversity of mathematical motifs. The author looks at two of these in particular: the fibre bundles and Borromeo’s rings, which reflect the artist’s outstanding mathematical intuition. Encara que l’associació de matemàtiques i art pot semblar en principi estranya, ambdues matèries comparteixen el seu interès comú per les estructures i les formes. Per als investigadors, les matemàtiques són una aventura en el món de les formes, on els càlculs i el rigor són les eines utilitzades. Als matemàtics ens agrada, fonamentalment, investigar la lògica de la forma i les seues relacions amb altres formes, calcular, entendre, descriure, descobrir les complexitats i la bellesa d’una situació. Ens agrada conèixer el que és cert, no sols en un cas particular sinó també en general. Matemàtiques i art tenen objectius diferents però alguns fonaments comuns. L’art pretén aconseguir alguns “punts on agafar-se” sobre les emocions, i per assolir aquest objectiu es basa en el concepte d’estructura i en un element estètic de proporció i ritme. En les matemàtiques, l’element estètic també representa un paper important a l’hora de determinar quines àrees, resultats o procediments de demostració són considerats interessants i fins i tot bells. Creation. És un plaer fer aquesta introducció a les matemàtiques relacionades amb un artista modern, que està fascinat amb les estructures geomètriques i per les teories científiques sobre el nostre lloc a l’univers i que és capaç d’expressar-lo en el seu art. L’any 1989, quan vaig conèixer John, vaig quedar molt sorprès amb la seua formació. Avorrit del tipus de vida que menava en una escola privada anglesa, a pesar d’haver-hi guanyat alguns premis en geometria i escultura, als setze anys va decidir enrolar-se en la marina mercant anglesa. Va desembarcar a Austràlia, on vivien alguns familiars llunyans. Va passar uns anys pastorejant ramats de bestiar o patrullant en la policia rural dels Kimberlies abans d’assentar-se durant deu anys al desert de les Ninety Miles, on va posar en marxa una explotació de corders. Es va casar i va començar la seua vida familiar. Cap al final d’aquests deu anys, quan l’explotació ja funcionava quasi sola, va comprar argila i va començar a modelar els seus fills i amics. Als 35 anys, i cansat de la terrible calor i de les mosques de l’estiu australià al desert, va decidir vendre la seua explotació i amb els diners obtinguts viure dos anys, ell i la seua família, a Anglaterra, on encara vivia sa mare. Allí va continuar modelant figures de xiquets jugant o descansant, amants, mare i fill, joves practicant algun tipus d’esport… Va començar a vendre les seues escultures i va decidir quedar-se a Anglaterra. Al voltant de 1975 va començar a treballar en les escultures simbòliques; així va nàixer la sèrie “Univers”. El concepte “símbol” és la clau d’aquesta sèrie i queda il·lustrada pel contrast entre l’escultura figurativa Acrobats i l’escultura simbòlica Elation (Goig). Les formes que ell expressa en la sèrie “Univers” naixen de la seua vida i la seua experiència, però es veu forçat a buscar símbols dins de la geometria: esferes, ovoides, cons, quadrats, piràmides… Els títols de les seues escultures simbòliques no pretenen ser descriptius, sinó una “porta” i una indicació que la forma no és una abstracció sinó un símbol.
Bonds of Friendship. Des de 1990, còpies de diverses escultures de la sèrie “Univers” han estat exhibides en distintes universitats, com per exemple, les d’Oxford, Cambridge, Gal·les, Liverpool, Leeds, Barcelona, Saragossa… Robinson és un geòmetra experimental notable, com es pot veure si estudiem les seues escultures simbòliques. Dels diversos motius matemàtics que han inspirat les escultures simbòliques de Robinson, n’he seleccionat dos: els fibrats i els anells de Borromeu. ■Fibrats El model més fàcil de cinta de Moebius és prendre una tira llarga de paper i adherir-ne els extrems després de realitzar un gir de 180°. És un model d’una superfície d’una sola cara i amb vora connexa. Podem veure la cinta de Moebius d’una altra manera. La cinta conté una circumferència al centre i podem pensar que és formada per segments iguals que tallen aquesta circumferència en angles rectes. Així, la podem veure com un segment que va girant a mesura que el traslladem al llarg de la circumferència. Molts artistes han quedat fascinats amb les superfícies d’una sola cara, en especial amb la cinta de Moebius. John Robinson va ser un d’ells i es va adonar que, si en compte d’un segment, traslladem altres formes geomètriques al llarg d’una circumferència i amb diferents angles de gir, això proporciona figures diferents, sempre depenent de la forma geomètrica amb què comencem i de l’angle de gir elegit. D’aquesta manera, Robinson va descobrir un concepte molt important en matemàtiques: els fibrats. Un fibrat és un objecte matemàtic que consisteix en un espai base, que per a la cinta de Moebius i altres escultures de Robinson és la circumferència. La fibra és la figura que es trasllada al llarg de la circumferència. Una informació extra que serveix per a definir l’objecte o espai total del fibrat és l’angle de gir de la fibra quan es trasllada al llarg de la circumferència. Aquest angle ha d’estar relacionat amb la forma de la fibra perquè les fibres “s’enganxen bé” i donen l’espai total del fibrat. Quan la fibra és un segment, els angles possibles són els múltiples de 180°. En particular, si prenem un angle de gir nul obtenim la superfície d’un cilindre que té dues cares i una vora formada per dues circumferències. En el cas de la cinta de Moebius, la fibra és també un segment, però l’angle de gir és de 180°; ara obtenim una superfície amb només una cara i que té per vora una corba tancada simple. Si prenem com a fibra un triangle equilàter, l’angle de gir hauria de ser qualsevol múltiple de 120°. El cas més senzill de nou, corresponent al gir de 0°, donaria simplement una rosquilla de secció triangular. Els vèrtexs descriuen tres circumferències que no es tallen. L’escultura Eternity es va fer usant un gir de 120° i, en aquest cas, si seguim el recorregut de qualsevol dels vèrtexs, tindrem una corba que només es tanca al cap de tres voltes i ens dóna un nus de trèvol. En les fotografies es poden veure alguns dels passos seguits per construir-la, els quals mostren clarament la fibra triangular del fibrat. També usant un gir de 120° s’ha construït Gordian Knot (Nus gordià); en aquest cas la fibra és la unió de tres cercles tangents entre si, com es veu en la figura 1. En cas que usem com a fibra un quadrat, l’angle de gir ha de ser un múltiple de 90°. L’escultura Dependent Beings (Éssers dependents) està feta amb un gir de 180°. Al meu parer el que Robinson ha aconseguit és mostrar que aquestes formes que es poden descriure amb termes matemàtics també poden transformar-se en objectes d’una sorprenent bellesa, amb una adequada elecció del material i de les proporcions. El concepte de fibrat és tan general que descriu noves classes d’objectes que són difícils de visualitzar, ja que només és possible realitzar-los pròpiament en un espai de moltes dimensions. Suposem, per exemple, que canviem l’espai base de la cinta de Moebius per un objecte una miqueta més complex com pot ser una esfera. La fibra podria ser un dels cinc sòlids platònics (tetràedre, cub, octàedre, dodecàedre o icosàedre). Com podríem descriure i entendre la geometria, les relacions espacials, dels objectes resultants? Quants objectes d’aquesta mena hi ha? Preguntes d’aquesta mena són les que intenten respondre les matemàtiques. Els anells de Prometeu Com es pot veure a la figura 2, els anells de Borromeu són tres circumferències encastades entre si de manera que cap no es pot separar de les altres, però cada una està separada de qualsevol altra. Açò és un exemple del que els matemàtics anomenem un encast de tres components connexos. L’estudi d’aquest tipus d’encastos forma part de la teoria de nusos. El nom prové d’una família italiana, els Borromeu, que van començar a usar-los en l’emblema familiar en el segle XV, si bé és cert que s’han trobat motius relacionats amb aquests anells en la cultura celta i víkinga. Si intentem construir els anells de Borromeu amb fil d’aram ens adonarem que això és impossible usant circumferències planes, sempre s’han de doblegar una mica (figura 3). En la literatura hi ha diverses demostracions rigoroses de la impossibilitat de construir els anells de Borromeu usant circumferències planes. Per exemple, una d’elemental és la de B. Lindström i H. O. Zetterström (1991)¹. No obstant això, sí que és possible construir-los usant el·lipses en compte de circumferències (figura 4). John Robinson, experimentant amb quadrats, es va adonar que usant quadrats en compte de circumferències és possible construir els anells de Borromeu. D’aquesta manera va crear la seua escultura Creation i va ser sorprenent la figura d’enorme bellesa que va aconseguir. Un pot entretenir-se a construir per si mateix en cartolina uns anells de Borromeu amb forma de quadrat i comprovar que si elegeix bé la longitud del costat, l’estructura es pot plegar; tindríem així una escultura transportable. Uns cinc anys després d’haver fet Creation, Robinson va visitar el mausoleu d’Ismail Samani, a Bukhara (Uzbekistan). Es tracta d’un edifici petit, considerat la perla de l’arquitectura islàmica, però que va ser construït, de fet, pels seguidors del zoroastrisme l’any 907 –poc abans de la islamització de la zona– com a temple per a l’adoració del foc. Damunt de cada una de les quatre entrades al temple hi ha gravats en pedra dos símbols, un d’ells és el quadrat dins del quadrat dins del quadrat: imagineu-vos la sorpresa de l’escultor quan la guia va comentar que era el símbol de la creació per als seguidors del zoroastrisme. Intuition està construïda aprofitant la idea dels anells de Borromeu, però amb triangles en compte de quadrats. Per a Robinson representa el nucli lligat de l’estabilitat en el centre del coneixement personal. Sovint sense raó aparent, n’ixen centellejos d’originalitat i de descobriment. Aquests centellejos, que són el que anomenem intuïció, apareixen en totes direccions però provenen del nucli de l’experiència. Molts lectors deuen haver vist la pel·lícula 2001 Una odissea de l’espai i de segur que recorden les escenes inicials: la intuïció representa un paper important en el progrés de les espècies.
Intuition. Un cert temps després de finalitzar aquesta escultura, va rebre una carta del doctor Peter Cromwell en la qual incloïa una fotografia de la Pedra de les Llegendes, una peça escandinava del segle ix que mostrava l’Estel de Wotan i que resulta que és una versió de l’escultura Intuition. Es podria dir que la intuïció d’Isaac Newton va canviar el món. Per això Robinson considera que és un honor increïble que la seua escultura Intuition estiga a l’entrada de l’Institute Isaac Newton de Cambridge. També considera un gran honor que una còpia d’aquesta peça fóra donada l’any 1997 al Fields Institute for Research in Mathematical Sciences de Toronto amb motiu del norantè aniversari del matemàtic H. S. M. Coxeter. Una altra construcció de gran bellesa s’aconsegueix també utilitzant rombes. En aquest cas Robinson la va titular Genesis. En la sèrie “Univers” de Robinson hi ha altres escultures, a banda de Creation i Intuition, esmentades anteriorment, que són exemples de nusos o encastos estudiats en la teoria de nusos, com ara Bonds of Friendship (“Llaços d’amistat”), que és un encast d’Hopf, Rhythm of Life, que conté un nus toroidal (15, 4), és a dir, que fa quinze voltes al voltant del cos de la rosquilla i quatre al voltant del buit central. Finalment, Immortality és un nus anomenat de trèvol, que amb la notació anterior s’expressaria com un nus (2, 3). Notes Les fotografies de les escultures es reprodueixen por cortesia de J. Robinson i Edition Limitee. |
Acrobats. Elation. Eternity és una escultura en bronze d’1,5 metres d’altura realitzada per J. Robinson el 1980. En les tres fotografies de sota apareix l’escultor (a la dreta, en la primera fotografia) realitzant un model en fusta. Per fer-lo va preparar cent triangles equilàters, cadascun dels quals perforat pel centre, i els va inserir en una anella fent-los girar a poc a poc, de manera que al final del recorregut cada vèrtex coincidira amb el contigu. Llavors els vèrtexs formen una sola corba tancada i els costats del triangle donen origen a una única banda que recobreix tota la superfície i que per a l’autor simbolitza l’eternitat.
Gordian Knot. Escultura en bronze d’1 metre d’altura realitzada el 1982. Es basa en la mateixa idea que l’anterior, però s’ha substituït el triangle pels tres cercles, de manera que se n’obté un nus triple.
Dependent Beings. En aquesta escultura, la figura que es fa girar al voltant d’una anella és un quadrat, de manera que els seus costats originen una superfície de dues cares. L’artista ha aplicat acabats de textura diferent en cadascuna per tal de simbolitzar la masculinitat i la feminitat, que s’uneixen per convertir-se en un ésser únic. Figura 2.
«Experimentant amb quadrats, es va adonar que usant quadrats en compte de circumferències és possible construir els anells de Borromeu»
Genesis. Rhythm of Life.
Immortality.
Figura 3.
Figura 4. |
