Les matemàtiques dels mercats financers

© Mètode
Durant els darrers 25 anys s’ha produït un creixement espectacular de l’activitat dels mercats financers.

Mathematics in the Financial Market. We present an introduction to the stochastic models used in financial markets and, in particular, we discuss the Black-Scholes formula for option pricing and Merton’s result on portfolio optimisation.

Models aleatoris basats en el moviment brownià i en el càlcul estocàstic d’Itô s’utilitzen usualment per tal de descriure l’evolució dels preus a la borsa.

Durant els darrers 25 anys s’ha produït un creixement espectacular de l’activitat dels mercats financers. L’enorme quantitat de dades que generen aquests mercats, així com la complexitat i varietat dels productes financers que s’hi negocien, han donat lloc a l’aparició de models i tècniques matemàtiques específics.

Les opcions de compra

Els preus de les accions tenen un comportament molt irregular amb un gran nombre d’oscil·lacions. Per tal de cobrir el risc que comporta la manca d’estabilitat dels preus de les accions, s’han creat els anomenats derivats, que són contractes o instruments financers que depenen del valor d’una acció o actiu subjacent. Els derivats més simples són les anomenades opcions de compra (stock options). Recentment, les opcions de compra sobre accions de Telefònica han donat guanys astronòmics als directius d’aquesta companyia i per això han estat motiu de debat públic. Malgrat aquest fet, les opcions de compra són instruments financers força útils.

Històricament els mercats de derivats o mercats financers secundaris apareixen de forma organitzada als Estats Units a principis dels anys 70. El 26 d’abril de l’any 1973 s’obria el primer mercat d’opcions a Chicago i es negocien 911 opcions de compra. Un any més tard es negociaven 20.000 contractes diaris i aquesta xifra va pujar a 700.000 l’any 1987. El mercat espanyol de derivats va començar a operar l’any 1990 i té dues seus, una a Barcelona i l’altra a Madrid.

Una opció de compra és un contracte que dóna al seu propietari el dret (però no l’obligació) d’adquirir accions a un preu K, fixat en el contracte, en un instant futur T. Si al temps T el preu d’una acció al mercat ST és superior a K, el propietari del contracte comprarà accions al preu K i les vendrà al mercat fent un benefici igual a STK, per cada acció. Si el preu del mercat ST és inferior a K, el propietari del contracte no tindrà interès a comprar accions a un preu superior al del mercat. D’aquesta manera, el propietari d’una opció de compra farà un benefici per acció igual a max(STK, 0). Es planteja aleshores el problema següent:

Quina quantitat hauríem de pagar en l’instant inicial per tal de posseir aquest contracte?, és a dir, quin és el valor present d’una determinada opció de compra?

La determinació del valor de les opcions es pot fer si es disposa d’un model matemàtic adequat per la corba de preus ST de les accions al llarg del temps.

El model de Black-Scholes

El primer intent de donar un model matemàtic per descriure l’evolució dels preus a la borsa el va donar Louis Bachelier a la seva tesi Théorie de la Spéculation, l’any 1900. Bachelier va considerar que el preu ST d’un actiu financer en un instant t és una variable aleatòria i per tant {St , t ≥ 0} serà una família de variables aleatòries o procés estocàstic. D’aquesta manera la corba de preus t → STt s’interpreta com la gràfica dels valors observats d’una família de variables aleatòries.

El caràcter irregular de la corba de preus t St és semblant al caràcter irregular de l’anomenat procés de moviment brownià que és el moviment de les partícules de pol·len en suspensió observat pel botànic Robert Brown l’any 1828. En Norbert Wiener va establir un model matemàtic per al moviment brownià segons el qual si Bt representa la posició de la partícula a l’instant t en una dimensió, els increments ΔBt=Bt+DtBt són variables aleatòries normals, centrades, independents, i amb variància proporcional a Δt. Aquests increments corresponen als impulsos deguts als xocs de les partícules de pol·len amb les molècules del líquid.

    Tenint en compte la similitud de les corbes de preus amb el movimient brownià, Fisher Black i Myron Scholes van introduir un model per a la corba de preus imposant que els rendiments o increments relatius del preu ΔSt / St fossin del mateix tipus que els increments del moviment brownià, és a dir, variables aleatòries independents i amb lleis normals N(μΔt,σ²Δt), de mitjana i variància proporcionals a Δt. El paràmetre μ representa la tendència a créixer, i el paràmetre σ s’anomena la volatilitat i mesura la desviació típica dels rendiments. En termes dels increments del moviment brownià podem escriure ΔSt / St = μΔt + σΔBt. Si substituïm els increments per diferencials, obtenim                                                        

                                              dSt=St(μdt+σdBt),

que és un exemple d’una equació diferencial estocàstica. Als anys 40 en Kiyosi Itô va desenvolupar una teoria per tal de donar sentit a les equacions d’aquest tipus: El càlcul estocàstic. En forma integrada i utilitzant el càlcul estocàstic d’Itô, el model de Black-Scholes per a la corba de preus s’escriuria:

                                                 St = S0 exp(μt+σBt – ½ σ²t),

on S0 és el preu inicial. Aquest model s’anomena el moviment brownià geomètric. Observem que l’esperança matemàtica de St és igual a S0eμt, ja que Bt és una variable aleatòria amb llei normal centrada de variància t.

 El model de Black-Scholes per a la corba de preus d’una acció permet calcular el valor d’una opció de compra. Suposem que hi ha un tipus d’interès fix r, és a dir, un capital inicial C0 es transforma en C0ert en l’instant t. Aleshores, el valor d’una opció de compra de venciment T, i preu d’exercici K, sobre un actiu financer amb preu inicial S0 es calcula mitjançant la fórmula:

                                           VT=S0Φ(d)-Ke-rTΦ(dσT),

on F és la funció de distribució de la llei normal N(0,1) i d és una funció dels paràmetres S0, K, T, r i s:

                                                δ = 1/σ√T (log S0/K + T (r + σ²/2 )).

 Aquesta és l’anomenada fórmula de Black-Scholes. Per tal de deduir aquesta fórmula només cal imposar que el valor de l’opció és igual a l’esperança matemàtica del benefici actualitzat e-rT max(STK,0) respecte una probabilitat Q que s’anomena probabilitat neutra. Sota aquesta llei de probabilitat el preu St segueix un model de Black-Scholes de tendència m igual al tipus d’interès r

Tots els paràmetres en la fórmula anterior són coneguts excepte la volatilitat que usualment es calcula implícitament a partir de la cotització en borsa de l’opció i de la fórmula de Black-Scholes.

Simulació del moviment brownià geomètric. 

Optimització de la cartera de valors

Un altre problema important en matemàtiques financeres és el de l’optimització de la inversió. En el cas d’un mercat amb un sol actiu financer de preu St, l’inversor pot posar a cada instant t una fracció γt del seu capital Ct en accions i la resta al tipus d’interès r. Això és un exemple molt simple d’una cartera de valors. Es tracta, aleshores, de determinar γ de manera que l’esperança matemàtica E (h (CT)) sigui màxima, on h és una funció estrictament cóncava anomenada funció d’utilitat. Una de les funcions d’utilitat que s’acostuma a prendre és hh (x) = xα, on a és un paràmetre entre 0 i 1. L’any 1973 en Robert Merton va donar la solució a aquest problema d’optimització, pel model de Black-Scholes:

                                                            γt = m-r/(1- α)σ²

 Observem que γt és constant, proporcional a la diferència μr (se suposa μ > r) i inversament proporcional a la volatilitat.

Aquest resultat es pot generalitzar a un context més realista on hi hagi més d’una acció, i es tinguin en compte les despeses originades per les transaccions i l’existència d’un procés de consum.

Probabilitats i finances

Els treballs fonamentals de Black i Scholes i de Merton van aparèixer l’any 1973 quan precisament es va obrir el mercat de Chicago. Aquests treballs van revolucionar els mètodes utilitzats per a l’avaluació i cobertura de derivats i van obrir les portes a la utilització de mètodes estocàstics en finances.

Els dos problemes que hem plantejat representen una petita mostra de la varietat de qüestions que es tracten en les matemàtiques financeres. Cal indicar que hi ha una correspondència força estreta entre nocions d’economia financera i del càlcul de probabilitats. Per exemple, la noció d’absència d’oportunitats d’arbritatge en un mercat financer es correspon amb la propietat de martingala dels preus actualitzats respecte a una certa probabilitat. Una altra correspondència d’aquest tipus és la relació entre el problema de la cobertura d’un cert benefici en un instant futur i la representació d’una variable aleatòria com una integral estocàstica respecte el moviment brownià. Aquesta relació entre probabilitats i finances s’ha manifestat molt fructífera per a ambdues àrees i ha donat lloc a una línia d’investigació molt activa.

David Nualart. Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona.
© Mètode 24, Hivern 1999/00.

 

«Aquesta relació entre probabilitats i finances s’ha manifestat molt fructífera per a ambdues àrees i ha donat lloc a una línia d’investigació molt activa»

© Mètode 2013 - 24. Temps de matemàtiques - Número 24. Hivern 2000

Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona.