Modelatge econofísic de mercats financers

Econophysical Modelling of Financial Markets. During the past decade, a group of physicists became interested in the analysis and modelling of financial markets and social systems, using methods and tools common to statistical and theoretical physics. These researchers christened their new scientific discipline “Econophysics” (you can find more information about Econophysics on the web pages <http://www.econophysics.org> and <http://www.unifr.ch/econophysics/>). In this article the authors look at the Econophysical research being carried out on financial markets.

«La tecnologia de la informació i la comunicació electrònica s’han convertit en elements essencials per al creixement i el desenvolupament dels mercats financers»

A partir dels anys seixanta del segle passat, els temes financers s’han convertit en una disciplina cada vegada més quantitativa. Una data clau és 1973, l’any en què es va publicar la coneguda teoria de Black i Scholes, que proporcionà la primera fórmula racional per fixar el preu de les opcions. Una opció és un contracte financer que concedeix al subscriptor el dret (però no l’obligació) de comprar o vendre un actiu, el preu del qual fluctua en el mercat, a un preu establert per a una data futura donada. Les opcions es negocien des del segle xix, però des del descobriment de la fórmula de Black i Scholes, el volum total dels mercats de derivats ha augmentat exponencialment. S’anomenen derivats tots els contractes financers semblants a les opcions, que són el resultat d’un subjacent actiu financer que fluctua. A més a més, el mercat derivat és un mercat innovador, i en l’activitat financera s’introdueixen contínuament nous productes derivats.

Des de 1973, la tecnologia de la informació i la comunicació electrònica s’han convertit en elements essencials per al creixement i el desenvolupament dels mercats financers. Així, el mercat de divises no està localitzat i les transaccions es decideixen gràcies a la informació subministrada pels proveïdors de la informació financera. Avui, molts mercats permeten realitzar un comerç electrònic i, en totes les borses, el comerç descansa completament en la tecnologia de la informació. Això vol dir que totes les transaccions, les bids (ordres de compra limitades) i les asks (ordres de venda limitades), es registren electrònicament. Per exemple, des de 1973, la borsa de Nova York emmagatzema i distribueix la base de dades de tots els negocis i les millors cotitzacions (TAQ) dels mercats d’accions dels EUA . Aquesta gran quantitat d’informació permet realitzar anàlisis estadístiques d’una precisió sense precedents.

El modelatge de mercats financers realitzat pels físics pretén complementar el que ofereixen altres disciplines com ­l’economia, les finances, les matemàtiques financeres i l’estadística. Com a exemples de conceptes físics que s’utilitzen en el modelatge de mercats financers, esmentarem: i) la invariància d’escala i universalitat, introduïts en la teoria de fenòmens crítics; ii) les variables aleatòries amb correlacions de curt i llarg abast; iii) els conceptes de la teoria de sistemes dinàmics, i iv) els conceptes de la teoria de la informació. En la investigació econofísica, els models senzills (toy models) dels mercats financers han representat un paper important. S’ha introduït i investigat tota una sèrie de models senzills, tant analítics com numèrics. Les propietats estadístiques observades en les dades empíriques s’han utilitzat per verificar aquests models, falsant algunes de les seues conclusions. Després de la falsació, de vegades es millora el model per tal incloure-hi el fet “específic” observat en les investigacions empíriques que ha falsat la versió prèvia del model. El toy model de més èxit en l’estudi d’un sistema social heterogeni és el joc de les minories. No ens detindrem ara en aquest model.

Els mercats financers s’han investigat utilitzant mètodes de física estadística i física teòrica des de distints punts de vista. Els resultats d’aquests estudis mostren l’existència de diferents nivells de complexitat en la dinàmica de preus. En comentarem ara alguns, recentment estudiats pel nostre grup d’investigació.

En qualsevol mercat financer, la funció d’autocor­relació del rendiment de l’actiu és una funció monòtona decreixent, amb un temps de correlació molt curt. Les anàlisis de dades d’alta freqüència han mostrat que els temps de correlació poden ser molt curts, fins a un parell de minuts en el cas d’accions o índexs amb un gran volum de negociació. Aquesta observació és compatible amb l’anomenada hipòtesi del mercat eficient. De fet, la memòria de curt abast entre rendiments està lligada directament amb la necessitat d’absència d’ocasions contínues d’arbitratge en els mercats financers eficients. En altres paraules, la presència d’una correlació temporal entre rendiments permetria inventar estratègies de comerç que proporcionen un guany net, contínuament i sense risc. La contínua recerca i explotació de les oportunitats d’arbitratge va disminuir dràsticament la predictibilitat dels canvis en els preus.

Figura 2: Arbre jeràrquic del conjunt de 100 valors negociats en els mercats dels EUA, obtingut a partir de les sèries temporals de rendiments calculades en un dia de negociació durant el període des de gener 1995 fins desembre 1998. Cada acció s’indica per una línia vertical, i el seu color representa el sector econòmic definit per Forbes Company. Es veu clarament la presència de grups d’accions que pertanyen al mateix sector econòmic. El codi de colors és el següent: energia (blau), sector públic (magenta), financer (verd), consum/cíclic (marró), consum/no cíclic (groc), societats instrumentals (taronja), sanitat (gris), serveis (cian), tecnologia (roig), béns d’equip (índigo), matèries bàsiques (violeta) i transports (marró).

L’absència de correlació temporal entre rendiments no significa que aquests siguen variables aleatòries, distribuïdes de la mateixa manera en el temps. Distints autors han observat que funcions no lineals dels rendiments, com ara el seu valor absolut o el seu quadrat, estan correlacionades amb una escala temporal molt més llarga que un dia de negociació. A més a més, la forma funcional d’aquesta correlació sembla seguir una llei de potències. Una altra observació es refereix al grau de comportament estacionari de la dinàmica del preu d’accions. Les anàlisis empíriques indiquen que els rendiments no són estrictament processos estocàstics estacionaris. En efecte, la mateixa volatilitat (o desviació estàndard dels rendiments) és un procés estocàstic.

Una volatilitat fluctuant i amb correlació de llarg abast no és l’única complexitat detectada en la dinàmica de mercats financers. De fet, una cartera de valors negociada en un mercat no és solament una col·lecció de camins aleatoris no trivials i independents. Hi ha correlacions creuades entre molts parells de valors simultàniament negociats en un mercat. La presència de correlacions creuades en un conjunt d’accions és un fet empíric ben conegut, observat en el mercat financer des del treball seminal de Markowitz.

L’estudi de correlacions creuades pot millorar la previsió econòmica i el modelatge de carteres de valors. Hi ha diverses maneres d’afrontar aquest problema. La més comuna és l’anàlisi de la component principal de la matriu de correlació de les dades primàries. Una altra manera és estudiar la correlació basada en un procés d’agrupament, la qual cosa permet obtenir grups de valors.

Recentment el nostre grup ha proposat detectar la informació econòmica present en una matriu de coeficients de correlació amb un procés de filtratge basat en l’estimació de l’ultramètric subdominant associat amb una distància d. Aquesta s’obté a partir del coeficient de la matriu de correlació d’un conjunt de n valors utilitzant la relació d2=2(1–ρ). Aquest mètode, ja utilitzat en altres disciplines, permet construir un arbre mínim d’escombratge (MST), és a dir, un gràfic que connecta tots els elements pel camí més curt, i un arbre jeràrquic d’una matriu donada de coeficients de correlació. Això es fa amb un algorisme ben definit, conegut com el veí més pròxim a un únic grup d’unió. Aquesta investigació permet revelar aspectes geomètrics (amb el MST) i taxonòmics (amb l’arbre jeràrquic) de la cor­relació present entre parells de valors.

En la figura 1 mostrem la matriu de distàncies obtinguda de la matriu de correlació calculada a partir dels rendiments de 100 accions altament capitalitzades i avaluades per un dia de negociació, durant el període de gener de 1995 a desembre de 1998. En la figura s’utilitza una escala de colors per indicar la distància entre cada parell d’accions. L’ordre de les accions en les files i columnes de la matriu de distàncies és l’ordre alfabètic dels seus símbols. Naturalment, aquest ordre no té significat econòmic i la matriu de distàncies no mostra un esquema senzill i reconeixedor.

«Els mercats financers s’han investigat utilitzant mètodes de física estadística i física teòrica des de distints punts de vista»

L’arbre jeràrquic obtingut a partir de la matriu de distàncies es pot veure en la fig. 2, on cada línia vertical indica un valor específic. Els sectors econòmics de les accions estudiades s’indiquen amb un codi de colors que apareix al peu de la figura. A partir d’ara, ens referirem a algunes accions mitjançant els seus símbols respectius. El significat d’aquests símbols es pot trobar fàcilment en llocs web, com per exemple <www.quicken.com>. Es poden reconèixer fàcilment alguns grups en l’arbre jeràrquic. De dreta a esquerra, els més destacats són: i) el sector de l’energia: SLB, HAL, BHI, MOB, CHV, XON, ARC, OXY i CGP; ii) el sector financer: JPM, BAC, MER, ONE, WFC, AXP i AIG; iii) el sector tecnològic: MSFT, INTC, TXN, CSCO, SUNW, NSM, IBM, HWP i ORCL; iv) el sector de matèries bàsiques: WY, CHA, IP i BCC; i v) el sector de serveis: BEL, AIT, GTE, SO, AEP, UCM i ETR.

Figura 3: La matriu de distàncies obtingudes de la matriu de correlació calculada a partir de rendiments diaris per 100 accions altament capitalitzades negociades en el mercat dels EUA en el període 1995-1998. La informació és la mateixa que en la figura 1, però ací els valors estan ordenats segons l’esquema jeràrquic que apareix a la figura 2. Igual com en la figura 1, utilitzem un codi de colors per indicar la distància d entre valors. Els colors més obscurs indiquen distàncies menors i per tant, valors més correlacionats.

L’arbre jeràrquic proporciona un ordre de cartera de valors que es pot utilitzar per reordenar la matriu de distàncies. Utilitzant aquest ordre hem representat la matriu de distàncies d’una manera molt més llegívola que en el cas mostrat a la figura 1. De fet, a la figura 3 observem una presència explícita de conjunts d’accions que formen grups. Les sèries temporals d’accions contenen, per tant, informació econòmica que pot detectar-se a condició d’utilitzar processos de filtratge especialitzats com el que hem esmentat abans. L’observació de l’existència d’informació econòmica significativa emmagatzemada en sèries temporals impredictibles demostra la complexitat dels mercats financers.

En efecte, la complexitat detectada en els mercats és fins i tot més gran. Ara comentarem breument un tercer nivell de complexitat. En concret, discutirem el comportament estadístic observat en una sèrie d’accions negociades simultàniament en un mercat financer en dies típics i extrems. Fa poc de temps, el nostre grup va proposar d’estudiar la funció de densitat de probabilitat (pdf) del rendiment d’un conjunt d’accions negociades simultàniament en un mercat financer. En els nostres estudis analitzàrem totes les accions negociades a la Borsa de Nova York (NYSE) durant dotze anys, des de gener de 1987 fins a desembre de 1998. La variable estudiada en la nostra anàlisi és el rendiment diari del preu de les accions en un dia determinat de negociació. La pdf dels rendiments dóna informació de l’activitat general del mercat en un dia específic de negociació. En absència de fets extrems, la part central de la pdf es conserva durant llargs períodes de temps. En aquests períodes, la forma de la pdf és sistemàticament no gaussiana i pràcticament simètrica. En els dies extrems de negociació, la pdf canvia bruscament en presència de rendiments, tant positius com negatius.

Figura 4: Les corbes de nivell i de superfície de la distribució del conjunt de rendiments en un interval de temps de 200 dies de negociació centrat en el Dilluns Negre (19 d’octubre de 1987). El dia del crac correspon al 0 en abscisses. L’escala de la densitat de probabilitat (eix z) de la corba de superfícies és logarítmic. La corba de superfícies s’obté a partir d’intervals equidistants de la densitat de probabilitat logarítmica. La zona més clara de la corba de nivell cor­respon al valor més probable.

En la figura 4 mostrem les corbes de nivell i de superfície de les PDF del conjunt de rendiments determinats en un interval de temps de 200 dies de negociació, centrat en el 19 d’octubre de 1987 (que correspon en abscisses al valor arbitrari 0). En la figura, l’eix z és logarítmic. La part central de la distribució del conjunt de rendiments mostra una forma típica, que es conserva aproximadament lluny de la crisi. En la crisi, la distribució del conjunt es desplaça fins als rendiments negatius i aleshores comença a oscil·lar entre rendiments positius i negatius. Aquestes oscil·lacions apareixen clarament per un interval de 70 dies de negociació després del crac de 1987. En aquest cas, aquest és l’interval de temps que el mercat va necessitar per tornar a un estat “típic”. Aquest fenomen es reflecteix parcialment en el comportament oscil·latori de l’índex Standard and Poor’s 500 (S&P500) observat després del crac de 1987.

Per tant, en els mercats financers es presenta també un tercer nivell de complexitat. Els dies típics i extrems difereixen pel que fa a les propietats estadístiques de la distribució del conjunt de rendiments. Però el canvi de forma de la distribució del conjunt de rendiments no és arbitrari, i es poden detectar regularitats estadístiques en fets extrems que ocorren en un interval de temps que pot arribar a ser de deu anys.

Un modelatge complet de la dinàmica dels mercats financers és extremadament complex. De l’estudi de les propietats estadístiques de la dinàmica de preus d’actius financers negociats simultàniament en un mercat, es dedueixen diversos nivells de complexitat. Els resultats obtinguts en assenyalar l’existència ­d’aquests nivells de complexitat suggereixen que el sistema obeeix finalment algunes regles profundes que controlen les propietats estadístiques del sistema global, tant en dies típics com en dies extrems. El descobriment d’aquestes regles profundes és el que fa que l’estudi d’aquest fascinant sistema complex siga també tan estimulant i interessant.

© Mètode 2002 - 35. Simfonia del caos - Tardor 2002

Dipartimento di Fisica e Tecnologie Relative, Università di Palermo, Itàlia.

Istituto Nazionale per la Fisica della Materia, Unità di Palermo, Itàlia.

Dipartimento di Fisica e Tecnologie Relative, Università di Palermo, Itàlia.