Un món a la butxaca: la geometria plegable de Santiago Calatrava

A World in your Pocket: Santiago Calatrava’s folding Geometry. In Santiago Calatrava’s work the mathematical ideas do not just appear in the computations needed to carry out the projects. These ideas are the foundation of his creative process, greatly influenced by his doctoral thesis, in which he explores the geometric principles applied to constructions with folding structures.

Fa ja alguns anys, els estudiants d’un dels meus cursos de geometria es queixaven envejant la sort d’aquells que seguien un curs de botànica i que rebien la classe a l’aire lliure: en efecte, un petit grup deambulava mentre atenia les explicacions que el seu professor anava donant sobre les plantes que es troben al voltant dels edificis. Ells, mentrestant, entre fórmula i fórmula, només tenien ocasió d’entreveure el seu objecte d’estudi a través dels dibuixos que, amb millor voluntat que art, jo m’esforçava a traçar a la pissarra i d’alguna enllaunada i freda imatge d’ordinador. Davant aquella queixa, se’m va acudir que nosaltres també podíem eixir al camp: podíem anar d’excursió a la Ciutat de les Arts i de les Ciències. Entrant al museu podíem interessar-nos per la relació entre el pèndol de Foucault i la teoria del transport paral·lel en superfícies, observar que la naturalesa té una certa inclinació a enroscar-se, a compondre espirals, hèlixs i entretenir-nos amb alguns jocs. Però no era aquest el nostre veritable objectiu; a la Ciutat de les Arts i de les Ciències hi ha moltes matemàtiques, però no precisament dins del museu. Aquí el continent supera amb escreix el contingut: el veritable bosc geomètric són les construccions, i en aquell moment encara era més palpable, perquè molts dels edificis mostraven els seus esquelets.

Sembla innecessari recordar aquí que, darrere d’una obra d’arquitectura o d’enginyeria de tanta envergadura, per força ha d’haver-hi una quantitat impressionant de càlculs matemàtics i de consideracions físiques que hagen permès la realització tècnica, la consecució de l’aparent miracle que fa que uns esbossos, que en ocasions semblen trets d’un somni, o almenys d’un somieig d’artista, prenguen cos i se sostinguen.

El que ja no és tan fàcil de descobrir és que en la base del procés creatiu no sols es troben aquestes formes somiades, poèticament imaginades i inspirades per formes de la naturalesa, sinó que en aquest procés creatiu intervé en gran manera l’interès de Santiago Calatrava per dos problemes que li han atret des de sempre. Es tracta, d’una banda, del problema de com representar el moviment d’estructures complexes, i, d’una altra, de com representar superfícies corbades amb formes intricades. Tampoc no és fàcil endevinar que abans de llançar-se a construir aquests universos geomètrics, passara anys lliurat a la realització dels estudis teòrics i abstractes necessaris per a resoldre aquests problemes que van ser el centre de la seua tesi doctoral i ho continuen sent de les seues investigacions actuals.

Una tesi doctoral

La tesi doctoral va culminar el 1981 un llarg període de formació que havia començat a la Universitat Politècnica de València, a l’Escola d’Arquitectura de la qual va acabar els seus estudis el 1975. Aquell mateix any es va traslladar a l’ETH (Institut Federal de Tecnologia) de Zuric, on, després de finalitzar els estudis d’enginyeria, va començar la seua investigació “Sobre la plegabilitat d’estructures”, recentment publicada en anglès¹. Llegint-la es té la sensació d’haure-se-les amb un treball d’alguna de les especialitats més abstractes de les matemàtiques: definicions precises, abstracció dels problemes concrets, raonaments i fórmules generals adreçades a obtenir un protocol de resolució dels problemes, i estudi concret de models simples que combinats poden donar lloc a incomptables casos particulars.   

En paraules de l’autor mateix “el treball descriu els principis geomètrics que s’apliquen a la construcció d’armadures plegables”, i és el seu objectiu “formular les relacions geomètriques i investigar sistemàticament tant aquelles relacions com les seues aplicacions a les estructures compostes per barres i articulacions per a obtenir estructures plegables”. El treball se centra en “la investigació d’elements modulars bàsics per a la formació d’aquestes estructures. L’organització d’aquests elements en reticles plans o espacials permet la formació d’armadures que, a més de la seua funció primària de ser estructures que suporten les càrregues, estiguen dissenyades també per a plegar-se”.

En la seqüència de fotos s’explica el procés de plegatge de les portes d’accés a la sala subterrània de la plaça de l’Ajuntament d’Alcoi.
Fotos: P. Rosselli

Una armadura és constituïda per barres connectades per articulacions o punts nodals. Si totes les barres són paral·leles a un únic pla, es diu que l’armadura és plana i en cas contrari es diu que és espacial. Des del punt de vista estàtic, la resistència i l’estabilitat dimensional són les propietats més importants. La resistència requereix un disseny apropiat de totes les components d’acord amb la càrrega aplicada, mentre que l’estabilitat dimensional exigeix que es conserve la forma en tot el sistema. Aquesta estabilitat es calcula amb una fórmula senzilla en termes del nombre de barres i el d’articulacions.

El plegatge, com un mitjà per a canviar la forma d’una armadura, contradiu el principi d’estabilitat en tant que aquesta és la capacitat de retenir la forma. Així una estructura plegable necessàriament ha de ser inestable. Es diu, doncs, que una armadura o estructura és plegable si és possible realitzar un moviment relatiu entre les barres, afluixant, de manera intencional, les articulacions. La seqüència de plegatge inclou el que es coneix com a moviments rígids, que són combinacions de translacions i rotacions. Aquest tipus d’estructures han de dissenyar-se atenent no sols a condicionaments estàtics sinó també cinemàtics, és a dir, són en realitat mecanismes que al final de la transformació tornarien a ser estructures estables, frenant les articulacions.

És indubtable que resulta útil que una estructura arquitectònica tinga parts mòbils i formes que li permeten adaptar-se a les diferents necessitats, però la seua construcció planteja greus problemes de tipus mecànic i, per descomptat, també d’estabilitat. Un antecedent llunyà d’estudis teòrics sobre aquestes estructures plegables es pot trobar a les màquines voladores de Leonardo da Vinci, qui, al seu torn, s’inspirava en les ales de rates penades, ocells i insectes. Un exemple ja més pròxim són les estructures dissenyades per als components tecnològics que s’usen en l’equipament espacial: penseu en els panells solars i en les antenes. Han de ser fàcils de transportar i de modificar pel que fa a forma i posició per control remot, però, a més, la geometria que han de tenir una vegada desplegades és completament determinada pels objectius que han de complir.

És clar que igual com per a les estructures plegables, el primer repte és la resolució del problema geomètric de visualitzar la transformació que experimenta la forma de l’estructura des que està en la posició plegada fins que arriba a la posició desplegada. Aquest primer problema és el que ataca Calatrava en la seua tesi doctoral, i ho fa dividint-lo en dues parts. La primera és la de modelitzar les transformacions geomètriques de les estructures de suport tridimensionals en ordenaments més compactes, i la segona és la d’articular la connexió mecànica.

   Per aconseguir-ho va optar per considerar la qüestió de manera general i abstracta, un enfocament que li servira per a obtenir un gran nombre d’esquemes alternatius de manera ordenada; per això va tornar els ulls cap a les matemàtiques, en particular a la teoria de les transformacions, que tracta de les construccions geomètriques, i a l’estudi d’una família de dispositius mecànics que es coneixen com a sistemes articulats i que estan fets amb barres connectades en punts on pivoten amb certs graus de llibertat. “Així, mentre les barres de longitud fixa es mouen als límits que els permeten les restriccions de les juntes, la seua topologia continua constant encara que varie la configuració geomètrica.”

Un sistema articulat senzill és un compàs que a més permet dibuixar circumferències; altres instruments més complicats permeten dibuixar corbes més complexes: paràboles, hipèrboles, cardioides, epicicloides. Un altre exemple és el procediment descrit en l’article de J. Monterde per a la construcció del paraboloide hiperbòlic: un sistema format per dues barres i una família de làmines els extrems de la qual s’uneixen mitjançant articulacions a cada una de les barres. Els sistemes articulats de Calatrava produeixen superfícies molt més complicades que aquesta. El seu repertori d’estructures plegables es pot veure com una espècie de joc de compassos, capaços de descriure un gran nombre de superfícies corbades complexes i facilitar així el procés necessari per a dissenyar-les.

Un exemple senzill i pròxim

El conjunt dels edificis que componen la Ciutat de les Arts i de les Ciències té en la seua arquitectura un element particular comú, a banda de les característiques materials i formals. Es tracta del fet de disposar d’una sèrie d’elements plegables bàsics diferents els uns dels altres. Aquests elements són el teló de la gran sala de música d’òpera i les portes reixades de l’edifici del planetari, entre altres.

El conjunt dels edificis que componen la Ciutat de les Arts i de les Ciències té en la seua arquitectura un element particular comú, a banda de les característiques materials i formals. Es tracta del fet de disposar d’una sèrie d’elements plegables bàsics diferents els uns dels altres.
Foto: J. Yaya

Comencem per un exemple senzill: disposem sobre un pla horitzontal unes barres com es mostra en la figura 1. Suposem que els vèrtexs són articulats i les tres arestes de color violeta s’han fixat al pla. Si prenem el vèrtex del triangle i el fem girar 90 graus al voltant de la base, haurem produït en les barres verdes un gir igual, fins deixar-les en plans verticals, i en la barra central groga un desplaçament en què s’ha mantingut horitzontal. El resultat final és l’armadura d’una teulada a dues aigües.

En compte d’una simple armadura amb juntes articulades, podem pensar en una cosa una miqueta més elaborada: reomplint el triangle, recobrint els dos quadrilàters amb làmines paral·leles a les barres verdes articulades en ambdós extrems, i realitzant el gir del vèrtex (o de qualsevol punt de la barra groga) amb algun mecanisme, tenim una coberta plana plegable molt semblant a la que Calatrava va utilitzar a la plaça de l’Ajuntament d’Alcoi. Hem de pensar que el segment groc pot ser substituït per una altra figura geomètrica, cosa que variaria la forma de l’objecte però no el principi de funcionament: a Alcoi és substituït per un quadrilàter que dóna a l’estructura plegada la forma d’un pentàgon com es veu en la figura 1.

Les quatre portes de l’estació de metro de l’Albereda de València es basen en el mateix principi, encara que en aquest cas l’esquema inicial correspondria al de la figura 2 en què les làmines tenen distinta longitud: una vegada obert, les parets laterals, encara que constituïdes per làmines, com abans, ja no són plans. La projecció de cada làmina en el segment groc, que és ortogonal a l’eix de rotació, és sempre la mateixa, i és clar que ha de ser l’altura del triangle que pivota. L’angle que cada làmina forma amb el seu eix de rotació ha de romandre constant en tot el procés d’obertura, alhora que varia per a cada làmina entre els quasi 90 graus de les primeres i l’angle del triangle que pivota. El segment horitzontal es pot substituir per una altra figura geomètrica, que en el cas de les portes del metro és un triangle.

Esquema del funcionament de les portes d’entrada a la sala subterrània de la plaça de l’Ajuntament d’Alcoi (figura 1) i a l’estació de metro Albereda de València (figura 2). Durant l’obertura, els segments marcats en violeta es queden fixos, les zones de color verd realitzen un gir i les grogues es desplacen horitzontalment.

   Per a acabar vegem com les descriu el mateix arquitecte:
   “Portes d’entrada a l’estació de metro Albereda: estructura laminar plegable de tancament pla. La raó de la creació d’aquesta porta és el desig de dissenyar una estructura mòbil que siga capaç d’adaptar-se al terreny passant de l’estat pla a l’estat tridimensional i que permeta, d’una banda, marcar l’entrada a l’estació de metro, i, d’una altra, donar una cobertura als escalons d’aquesta en la seua part interior. Per a això s’ha ideat una porta mixta consistent en elements plans d’una part i làmines d’obertura articulades convenientment amb els elements plans d’obertura i amb els cantells fixos de l’accés… A través d’una rotació respecte a un eix horitzontal la porta s’obre, cada una de les làmines té un gir relatiu al voltant d’un eix paral·lel d’igual magnitud… El mecanisme d’obertura funciona mitjançant un cilindre hidràulic que ataca el centre de gravetat de la superfície triangular; a través de la força procedent del cilindre hidràulic, el pla del triangle superior es desplaça en una sèrie de plans paral·lels a l’horitzontal i produeix l’obertura del conjunt”.
 

Notes
1. Santiago Calatrava’s Creative Process. Part I: Fundamentals. Part II: Sketchbooks [edició i introducció de L. Lefaivre i A. Tzonis]. Basilea. Birkhäuser Publishers for Architecture , 2001.(Tornar al text)

Olga Gil Medrano. Departament de Geometria i Topologia, Universitat de València.
© Mètode 37, Primavera 2003.

 

La seqüència de plegatge d’una estructura inclou el que es coneix com a moviments rígids, que són combinacions de rotacions i translacions. Procés de plegatge de les portes d’accés a la estació del metro de l’Albereda a València des de l’exterior.
Fotos: P. Rosselli

 

«Aquí el continent supera amb escreix el contingut: el veritable bosc geomètric són les construccions»

 

 

Procés de plegatge de les portes d’accés a l’estació del metro de l’Albereda a València, vist des de l’interior.
Fotos: P. Rosselli

 

«Calatrava va optar per considerar la qüestió de manera general i abstracta, un enfocament que li servira per a obtenir un gran nombre d’esquemes alternatius de manera ordenada; per això va tornar els ulls cap a les matemàtiques»

 

 

Procés de plegatge de la porta de l’Hemisfèric a la Ciutat de les Arts i de les Ciències.
Fotos: J. Yaya

© Mètode 2013 - 37. Fons i forma - Primavera 2003

Vicerectora de Relacions Internacio­nals i Cooperació de la Univer­sitat de València.