Les distàncies a Manhattan

Il·lustració: Raquel Garcia Ulldemolins

Si Euclides, el pare de la geometria, haguera conegut Manhattan, possiblement li hauria fet dubtar sobre allò que diem constantment que «la distància més curta entre dos punts sempre és la línia recta». Ja siga en la Gran Poma o en qualsevol altra ciutat, si per dissenyar una ruta en una zona on hi haja edificis usem la línia recta per a unir l’origen i la destinació, ens trobarem amb el petit inconvenient que la nostra ruta haurà de travessar algun immoble. 

En la geometria que ens va ensenyar el gran matemàtic grec –que és la que aprenem en els primers anys de l’escola– la distància entre dos punts es mesura com la longitud del segment que els uneix. Aquesta manera de mesurar la distància és coneguda com «distància euclidiana» i té infinitat d’aplicacions en matemàtiques i en la nostra vida quotidiana. No obstant això, no és l’única manera de fer-ho i no sempre és real en segons quins problemes vulguem resoldre: per exemple, el de la ruta mínima enmig d’una ciutat. Si els punts que hem de connectar pel camí més curt estan cadascun en un lateral d’una illa d’edificis, el camí més curt entre ells estarà donat per la suma dels dos catets d’un triangle rectangle.

És a aquesta suma de longituds el que denominem «distància Manhattan» (o més formalment, distància L1). És major que la distància euclidiana, però també és més real en la pràctica. De fet, la distància Manhattan entre dos punts es calcula com la longitud de qualsevol camí que els unesca mitjançant segments verticals i horitzontals; tots mesuren el mateix.

Quan es tracta de dissenyar rutes de recorregut mínim en ciutats, té més sentit usar aquesta distància que l’euclidiana; per no anar travessant gratacels, per exemple. És més, com que totes les «escales» tenen la mateixa longitud, ens permet triar entre distintes op­cions, en funció de semàfors, zones de seguretat dubtosa, manifestacions, etc.

Evidentment, no totes les ciutats, ni tan sols Nova York, estan distribuïdes com una quadrícula, però se sol considerar per a molts tipus de problemes de disseny de rutes aquest tipus de distància. I també, com no podia ser de cap altra manera, en el disseny de circuits ortogonals en què predominen les connexions en vertical i horitzontal, o en el d’un pla del metro.

Hi ha moltes distàncies a més de l’euclidiana i la Manhattan. Una altra de molt coneguda és la «distància infinit» (més formalment, distància de Txebixov). La distància infinit mesura la longitud del catet més llarg del triangle rectangle que defineixen dos punts. Dit més formalment, la major diferència entre les seues coordenades. Possiblement, l’ús més conegut d’aquesta altra forma de mesurar les distàncies es troba en els moviments del rei dels escacs, ja que coincideix amb el nombre mínim de moviments que necessita el rei per a anar d’una casella a una altra.

«La distància Manhattan és major que la distància euclidiana, però també és més real en la pràctica»

Un altre dels aspectes cridaners tant de la distància Manhattan com de la distància infinit és que les circumferències amb aquestes no són redones. Com ho sentiu: una circumferència amb centre en un punt P i ràdio R és la corba que descriuen els punts que estan a distància R de P. Doncs bé, amb la distància Manhattan tenim un rombe i amb la distància infinit, un quadrat. En ambdós casos, centrats en P. Per tant, amb aquestes distàncies es va acabar també l’expressió de «x quilòmetres a la redona» i la nostra idea intuïtiva de cercle.

© Mètode 2017 - 94. Sapiens - Estiu 2017
Etiquetes:

Doctora en Matemàtiques, catedràtica de la Universitat de Sevilla i divulgadora.