Hi ha algú aquí fora?

Is anybody out there? In the paper our aim is to describe some basic facts about prime numbers and the Riemann zeta function. After discussing their importance, we mention some open problems and applications.

 Contacte

Actualment, ningú no sap si hi ha o no vida intel·ligent o bé, simplement, vida en alguna altra part de l’univers. Amb tot, si n’hi hagués, establir-hi contacte no seria fàcil. Caldria, com a mínim, que alguns extraterrestres emetessin senyals racionals, que nosaltres els interceptéssim i que, a més, fóssim capaços de descodificar-los. No obstant això, en el film de ciència ficció Contact, dirigit l’any 1997 per Robert Zemeckis amb l’aval científic de Carl Sagan, la radioastrònoma Ellie Arroway (Jodie Foster) aconsegueix captar per primera vegada senyals intel·ligents procedents de l’espai exterior.

El missatge dels alienígenes de Contact és: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, etc. Arroway s’adona que un missatge així no pot ser degut a cap radiació fortuïta, ja que hi reconeix la successió dels nombres primers i, per tant, la intervenció d’una acció intel·ligent. Com que la notícia és rebuda amb l’escepticisme previsible, la científica es veu abocada a defensar el seu parer. Així, en una escena que és força inusual en el cinema, Jodie Foster explica a un comitè d’experts de Washington que “els nombres primers són aquells que només es poden dividir per ells mateixos i per l’1 […]”. Com que l’escena és molt curta, i l’espectador només assisteix a una part del debat, utilitzarem l’ocasió per parlar d’aquests nombres i de com els éssers humans han anat escorcollant les seves propietats.

Sobre la quantitat de nombres primers

Considerem la successió dels nombres naturals 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc. Els nombres primers són els constituents bàsics dels nombres naturals, en tant que tot nombre natural factoritza com a producte de nombres primers. Des del segle III a. C., es coneix que la successió dels nombres primers, a l’igual de la dels nombres naturals, no s’acaba mai. Euclides demostrà que hi ha una quantitat infinita de nombres primers en el capítol IX dels Elements. La demostració d’Euclides es fonamenta en propietats elementals de la divisibilitat dels nombres.

    L’any 1748, Leonhard Euler redemostrà el teorema d’Euclides d’una manera molt més elaborada. En el seu raonament, Euler utilitzà la identitat:

n-s= ∏(1 – p-s)-1

on el sumatori de l’esquerra s’estén a tots els nombres naturals, el producte de la dreta ho fa a tots els nombres primers i s > 1 denota un nombre real. La validesa de la identitat és deguda al fet que tot nombre natural es descompon en factors primers de manera única (la qual cosa no seria provada rigorosament fins una cinquantena d’anys més tard per Carl Friedrich Gauss). Euler s’adonà que si el conjunt dels nombres primers fos finit, el producte de la dreta representaria una quantitat finita, per a tot s, mentre que el sumatori de l’esquerra representa una quantitat no finita quan s tendeix cap a 1. Com que les dues afirmacions es contradiuen, el conjunt dels nombres primers és infinit.

Euler lamentà el desconcert imperant en la successió dels nombres primers. Considerava que el comportament d’aquests nombres és tan misteriós que la seva comprensió restaria per sempre fora de l’abast de la ment humana. Euler no podia sospitar, però, que la seva identitat seria el punt de partida d’una intensa recerca que es produiria en el decurs dels segles subsegüents.

 Sobre la quantitat de nombres primers inferirs a una quantitat donada

    Més amunt hem escrit tots els nombres primers inferiors a 50. N’hi ha quinze. Si escrivíssim tots els nombres primers inferiors a 100, en trobaríem vint-i-cinc. I d’inferiors a 1.000, cent seixanta-vuit, etc. L’any 1785, Adrien-Marie Legendre introduí una funció, que es designa per π (x), que compta el nombre de primers inferiors o iguals a x. Al mateix temps, Carl Friedrich Gauss construí taules molt extenses de primers (fins a sis milions) i comptà el seu nombre en cada miler de nombres naturals. De manera independent, Legendre i Gauss conclogueren que la funció x / log x aproximava bé, i que ho havia de fer cada cop millor en créixer x, el valor π (x) . Avui, que tenim tants mitjans de càlcul a l’abast, és interessant comprovar l’encert de les prediccions de Legendre i Gauss. Observem-ho en els resultats continguts a la taula:

x
π (x)
x / log x
100
25
21.71
1000
168
144.76
10000
1229
1085.74
100000
9592
8685.89
1000000
78498
72382.41

La funció zeta de Riemann

L’any 1859, Bernhard Riemann reprengué l’estudi de la successió dels nombres primers en el punt on l’havia deixat Euler. En l’època de Riemann, l’ús dels nombres complexos i la manipulació de sèries eren pràctiques més habituals que no en la d’Euler. D’aquesta manera, Riemann pogué considerar una funció

ζ (s) = n-s

definida per a tots els nombres complexos s de part real més gran que 1. En la memòria Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Riemann estengué la funció anterior a tots els nombres complexos per mitjà d’una representació integral. Riemann intuí que la localització dels seus zeros havia de tenir una forta influència en el nombre de primers inferiors a una quantitat donada, la qual cosa formulà d’una manera precisa. Però les eines disponibles en l’època no li permeteren anar més lluny. La funció en qüestió s’anomenà la funció zeta de Riemann i quedà lligada indefectiblement a l’estudi de les lleis que regeixen el comportament dels nombres primers.

El teorema dels nombres primers   

   Jacques Hadamard (1865-1963) i Charles-Jean de la Vallée Poussin (1866-1962), dues vides paral·leles en la història de la matemàtica, provaren l’any 1896, de manera simultània i independentment, l’anomenat teorema dels nombres primers. Veritable fita matemàtica del segle XIX, el teorema afirma que la funció x / log x és asimptòticament equivalent a la funció π (x), d’acord amb les conjectures formulades per Legendre i Gauss. Les demostracions d’ambdós autors són llargues i difícils. Un punt delicat en què es basa el resultat final és la prova que la funció zeta no té cap zero de part real igual a 1. O sigui, que el nombre complex ζ (1+bi) és sempre diferent de zero. La sola demostració d’aquest fet ocupa en l’article de De la Vallée Poussin més de vint pàgines.

Al llarg del segle XX, diversos autors han intentat simplificar les demostracions del teorema dels nombres primers. L’any 1949, A. Selberg i P. Erdös n’aconseguiren una prova amb recursos elementals, però encara massa llarga per esdevenir popular. Successives simplificacions han conduït, finalment, a una demostració del teorema molt més assequible.

    Les simplificacions més recents aconseguides en la demostració del teorema dels nombres primers són degudes, bàsicament, a D. J. Neumann (1980) i D. Zagier (1997). Aquests autors presenten de manera compacta molts recursos deguts als seus predecessors. La demostració que en resulta és analítica i, per descomptat, s’hi empra la funció zeta de Riemann a bastament. Avui, transcorreguts més de cent anys després de les primeres demostracions, el teorema dels nombres primers es pot aprendre en unes quatre o cinc hores de classe.

La hipòtesi de Rienmann  

    En l’International Congress of Mathematicians, celebrat a París l’any 1900, David Hilbert presentà una llista de 23 problemes oberts, d’una rellevància especial. Els problemes de Hilbert han esperonat una part molt significativa de la recerca matemàtica del segle XX. El problema número 8 de Hilbert se centra en l’anomenada hipòtesi de Riemann. La hipòtesi de Riemann controla els zeros de la funció zeta en la banda crítica, tal com s’expressà en la memòria de Riemann de l’any 1859. Concretament, el problema demana demostrar que si un nombre complex a+bi és un zero (no trivial) de la funció zeta, ζ (a+bi) = 0 aleshores a = ½. La seva prova permetria obtenir, entre d’altres, bones fites del terme d’error
π (x) – x / log x .

Malgrat els nombrosos intents portats a terme durant gairebé 150 anys per provar la hipòtesi de Riemann, aquesta resta inassequible. En aquest sentit, els matemàtics entrem en l’any 2000 amb els deures proposats per Hilbert inacabats i la hipòtesi de Riemann emergeix com un repte matemàtic per a les noves generacions. Interpretacions espectrals i cohomològiques, fórmules de traces, trencament de simetries, transicions de fase, etc. són recursos que s’han presentat com a probables vies d’atac de la hipòtesi de Riemann i que actualment són objecte d’una intensa recerca. D’altra banda, una forta experimentació numèrica la corrobora.

Si en una pel·lícula o novel·la de ciència ficció es volgués donar a entendre que una civilització d’alienígenes es troba un punt més avançada que la nostra, n’hi hauria prou que transmetés, a més de la successió dels nombres primers, una prova de la hipòtesi de Riemann.

Per a què ens calen primers tan grans?

En arribar a aquest punt, algú podria interpretar la tasca exposada com un exercici intel·lectual pur, desconnectat de la realitat. El més sorprenent, però, és que l’existència de primers grans s’ha convertit en els darrers anys, i a causa de circumstàncies originades per la tecnologia d’última hora, en salvaguarda dels nostres interessos. En efecte, la circulació d’informació privada en xarxa i el nombre creixent d’usuaris obliga, cada cop més, al maneig de mètodes fiables de codificació de la informació. Un dels mètodes més populars emprats en criptografia és l’anomenat RSA, en honor dels seus creadors R. L. Rivest, A. Shamir, L. Adleman. La seguretat del mètode es basa, precisament, en la dificultat de factoritzar de manera eficient els nombres naturals que són producte de dos nombres primers molt grans. Les implementacions més elaborades del mètode RSA (així com també d’altres similars) utilitzen lleis aritmètiques profundes, el coneixement de les quals seria inimaginable sense el suport teòric que s’ha desenvolupat a l’entorn de la funció zeta.

Epíleg

Ara com ara, si en una pel·lícula o novel·la de ciència ficció es volgués donar a entendre que una civilització d’alienígenes es troba un punt més avançada que la nostra, n’hi hauria prou que transmetés, a més de la successió dels nombres primers, una prova de la hipòtesi de Riemann.

Pilar Bayer. Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona.
© Mètode 24, Hivern 1999/00.

 


© Mètode
Bernhard Riemann. 

 

«Interpretacions espectrals i cohomològiques, fórmules de traces, […], etc. són recursos que s’han presentat com a probables vies d’atac de la hipòtesi de Riemann i que actualment són objecte d’una intensa recerca» 

© Mètode 2013 - 24. Temps de matemàtiques - Número 24. Hivern 2000

Especialista en teoria de nombres, la seva carrera acadèmica s’ha desenvolupat a la Universitat de Ratisbona (Alemanya), la Universitat Autònoma de Barcelona, la Universitat de Santander i la Universitat de Barcelona (Espanya), institució de la qual és catedràtica des de l’any 1982. La seva recerca comprèn, entre d’altres, publicacions sobre funcions zeta, equacions diofantines, corbes el·líptiques, formes modulars i corbes de Shimura. Als anys vuitanta fundà el Seminari de Teoria de Nombres de Barcelona, vigent en l’actualitat, i ha estat la directora de quinze tesis doctorals. És acadèmica numerària de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales; de la Reial Acadèmia de Ciències i Arts; de la Reial Acadèmia Europea de Doctors i membre de l’Institut d’Estudis Catalans. L’any 2015 li fou concedida la Medalla d’Honor de la Xarxa Vives d’Universitats.