|
Volcano, per Javier Barrallo. Encara que les imatges fractals són creades típicament amb un aspecte bidimensional, és possible simular una imatge amb aspecte tridimensional utilitzant alguns efectes de programació. Essencialment, es calcula una “altura” per a cada punt basant-se en un determinat algorisme de color. Després es defineix un pla tangent a la superfície i un vector normal a aquesta, la qual cosa determina de forma realista la quantitat de llum i ombra que ha d’administrar-se a cada punt. Les imatges fractals Els sistemes dinàmics són una de les branques de les matemàtiques més desenvolupades avui, però fins a l’arribada dels ordinadors, l’elevat nombre de càlculs que implicava el seu ús els feia impracticables en la vida real. Actualment, la capacitat de l’ordinador per a efectuar operacions a gran velocitat permet condensar milions de càlculs en resultats que podem interpretar numèricament o visualment. Benoit Mandelbrot va ser el primer a utilitzar els ordinadors per a produir representacions gràfiques de sistemes dinàmics en el pla complex, basant-se en les fórmules descrites pel matemàtic francès Gaston Julia a començament de segle. Durant la dècada dels 80, els primers estudiosos dels fractals van començar a explorar-los pel seu valor estètic, més que no per la seua significació matemàtica. Mentre que la matemàtica era l’eina, l’objectiu era l’art. Com que les equacions fractals són l’element matemàtic més obvi, els artistes fractals van experimentar amb noves equacions, introduint centenars de nous tipus fractals. Elegint acuradament paràmetres per a refinar el color, la forma i l’enquadrament, aquests pioners van introduir el concepte d’art fractal. Després de 1995, pràcticament s’havia esgotat la possibilitat de crear nous tipus fractals d’especial rellevància. Llavors la major innovació no es produeix canviant les equacions fractals, sinó creant noves formes d’acolorir les equacions ja existents. A mesura que aquests nous algorismes d’acoloriment es fan més complexos, els artistes fractals tornen a les equacions fractals més simples i clàssiques, ja que la flexibilitat d’aquests sofisticats algorismes de color proporciona, en si mateixa, una major versatilitat i possibilitat d’expressió artística personal. Algorismes de color Cada sistema dinàmic produeix una seqüència de valors z0, z1, z2, z3,… zn. Les imatges fractals es creen generant una d’aquestes seqüències per a cada píxel (punt de la pantalla) en la imatge. Posteriorment, l’algorisme de color és l’encarregat d’interpretar la seqüència numèrica per produir un color final que la represente.
The eyes of the beholders (Els ulls dels vigilants) per Domenik Anuzzi. Aquesta imatge constitueix un exemple de com l’ús de diferents capes pot ser utilitzat per a buscar i ressaltar una determinada forma o efecte. Típicament, l’algorisme de color produeix un únic valor per a cada píxel. Atès que el color és interpretat als ordinadors com un espai tridimensional RGB (red, green, blue), aquest valor unidimensional ha de ser expandit per a poder produir un color. El mètode més comú és la creació d’una paleta, una seqüència de valors de color 3D, definits per una línia (denominada gradient) que recorre l’espai tridimensional. La selecció del gradient és una de les decisions artístiques més crítiques a l’hora de crear una imatge fractal. Un gradient de color pot emfasitzar parts de la imatge o ocultar-ne altres. En casos extrems, dues imatges fractals amb els mateixos paràmetres però diferents esquemes de color poden semblar completament diferents. Podem efectuar una primera divisió entre els algorismes de color: els que produeixen valors discrets i els que produeixen valors continus. Els valors discrets mostren salts o bandes en la transició del color. Fins fa uns anys açò no era important, ja que les targetes gràfiques de 8 bits produïen, en qualsevol cas, un escalonament en la imatge. No obstant això, l’arribada massiva de les targetes gràfiques de 24 bits va fer que els algorismes continus cobraren una especial preponderància, ja que permeten interpolar un color qualsevol del gradient amb la precisió desitjada. La creixent importància dels algorismes de color en les imatges fractals ha donat lloc a centenars de nous algorismes, d’entre els quals podem destacar els que es detallen tot seguit. Algorisme de temps de fuga L’algorisme de temps de fuga és un dels més antics i per a molts programes fractals l’única opció disponible. La seua simplicitat el converteix en el favorit d’aquells que s’inicien en la programació fractal, però, des del punt de vista artístic es considera menys important, atès que produeix valors discrets i s’ha vist àmpliament superat pels algorismes de color continus. Aquest algorisme es basa en el nombre d’iteracions necessari per a determinar si la seqüència iterada pel sistema dinàmic tendeix a infinit o no. Pot demostrar-se estrictament que quan l’òrbita de qualsevol valor z0, z1, z2, z3,… zn excedeix una regió frontera R sempre divergeix cap a l’infinit. La forma i la grandària mínima de la regió R són, per descomptat, diferents per a cada fórmula fractal. La seqüència iterada és interrompuda tan prompte com zn sobrepassa la regió frontera R, llavors el valor d’acoloriment per a l’algorisme de temps de fuga és simplement la longitud de la seqüència, és a dir, n. Tradicionalment, R es defineix com un cercle, centrat en l’origen i amb radi 2. Això ve donat perquè en el conjunt de Mandelbrot està provat que tan prompte com |z|>2 la iteració divergeix. I encara que matemàticament R ha d’incloure un cercle de radi 2 per a verificar la divergència de forma precisa, això no ha impedit a alguns artistes fractals experimentar amb altres radi diferents. L’algorisme de temps de fuga pot ser considerat com una mesura no euclidiana de la distància d’un punt qualsevol z0 a la frontera del conjunt. L’ús d’un valor discret (el nombre d’iteracions és sempre un sencer) produeix una aparença de bandes semblant a la d’un mapa topogràfic L’ús creatiu dels gradients pot en algun cas traure profit d’aquestes bandes (també denominades “ratllat de tigre”), però la majoria dels artistes han desenvolupat algorismes que oculten aquest efecte. Clarament, l’objectiu final és crear funcions contínues per mesurar aquestes distàncies. Encara que els algorismes emprats no proporcionen una distància euclidiana exacta, sí que proporcionen una aproximació acceptable utilitzant valors continus. No totes les seqüències iterades z0, z1, z2, z3,… zn tendeixen a infinit. Les òrbites que no ho fan, sovint convergeixen en un sol punt o en un cicle periòdic. Encara que la majoria de les tècniques descrites anteriorment poden aplicar-se a aquestes seqüències convergents, requereixen certes modificacions. El mètode més senzill consisteix a buscar un canvi decreixent a l’òrbita de zn. Així, mentre que zn convergeix cap a un punt fix, |zn–zn-1| tendeix cap a zero. Una vegada que aquesta diferència sobrepassa una tolerància establerta, considerem que el punt ha convergit prou cap a l’atractor i l’acolorim (pot ser d’acord al nombre d’iteracions o a qualsevol altre algorisme). Angle de fuga Els algorismes descrits anteriorment consideraven la magnitud de z i el nombre d’iteracions. Si considerem la magnitud z com una part de les coordenades polars de zn, llavors sembla lògic considerar també l’altra part –l’angle de z– com a element per a acolorir. La família d’algorismes d’angle de fuga cobreix tots aquells algorismes basats en l’estudi de l’angle de zn. El primer algorisme seria la descomposició binària. En aquest algorisme, els valors de zn que prenen angles per damunt de l’eix real (0-180°) prenen un determinat color, mentre que els que prenen valors per davall de l’eix real (180-360°) en prenen un altre de radicalment diferent. Variacions de l’esquema de la descomposició binària poden incrementar el nombre de divisions del pla Per exemple, una descomposició quaternària podria assignar un color diferent dels angles de zn corresponents a cada quadrant. L’increment del nombre de divisions del pla incrementa, lògicament, el nombre de colors a emprar. Un altre aspecte de la seqüència z0, z1, z2, z3,… zn que pot ser mesurat és la curvatura entre iteracions consecutives. Una estimació ràpida pot fer-se utilitzant dos punts de la iteració. Altres variants permeten utilitzar el radi de la circumferència que passa pels valors de tres iteracions o l’àrea del triangle format per tres iteracions. Aquestes últimes variants recullen no sols la curvatura de les iteracions, sinó també la distància entre elles.
Captura de fugues Constitueix sens dubte la més àmplia família d’algorismes de color, donada la gran versatilitat que mostra per a l’expressió artística. La idea bàsica consisteix a elegir una regió del pla complex (denotada per T) i estudiar la relació entre els valors de zn i T. La regió T és definida usualment com una forma (generalment de càlcul simple com un punt, línia o cercle) i una distància de tolerància. Qualsevol iteració que caiga dins de la distància de tolerància es considera “capturada”. Les implementacions primitives de l’algorisme de captura d’òrbites simplement buscaven qualsevol zn que caiguera dins de la regió T, també denominada “trampa”. Quan es donava aquesta circumstància es concloïa la iteració i s’acoloria el píxel d’acord amb la distància al centre de la regió T. D’aquí el terme “trampa”; una vegada que l’òrbita cau en T, aquesta és “atrapada” i la iteració finalitzada. Hi ha moltes variants per a aquest mètode. En primer lloc, la forma de la regió T pot variar i transformar-se en figures més complexes com el·lipses, astroides, hipèrboles, corbes trigonomètriques o corbes polars com ara espirals o cardioides. Més lluny encara, aquestes trampes poden distorsionar-se o rotar-se, fins i tot incrementar la seua àrea amb cada iteració. Un altre tipus de variants tracta la relació entre les distàncies de cada valor zn respecte a T. La implementació clàssica, esmentada anteriorment, s’aturava quan un valor zn queia dins de la distància de tolerància T. Però altres variants poden utilitzar l’últim valor zn a caure en la trampa, o el més pròxim, o el més llunyà, etc. I fins i tot mètodes més exòtics poden combinar diverses d’aquestes distàncies simultàniament, fins el punt de fer quasi impossible predir quin tipus de resultats s’obtindrà. Una variant de la captura d’òrbites és l’algorisme de enters gaussians. Un enter gaussià és un nombre complex les components real i imaginària del qual són ambdues nombres enters. L’algorisme calcula la distància de cada zn a l’enter gaussià més pròxim, i llavors s’acoloreix basant-se en la distància menor obtinguda en la iteració. Conceptualment, aquest mètode és semblant a una captura d’òrbites en què la trampa T (un punt) es repeteix al llarg del pla complex en una malla regular coincident amb els enters gaussians. Percebut d’aquesta manera, és clar que aquesta tècnica pot ser estesa a qualsevol altra forma T, amb diferents espaiats, i fins i tot malles no rectangulars, com les radials o les triangulars. Fractals multicapa Avui dia la tècnica més rellevant de creació artística consisteix a combinar simultàniament diversos algorismes com els descrits anteriorment. El resultat final és un algorisme mixt d’enorme complexitat però que genera imatges de gran bellesa, que denominem fractals multicapa i que constitueixen l’avantguarda de l’art fractal modern. Les possibilitats de combinació són pràcticament infinites i amplien a límits insospitats les possibilitats d’expressió artística. Aquesta nova tècnica va donar lloc a la unió de diversos artistes fractals en una exposició itinerant denominada “The Frontier between Art and Science”, que ha estat presentada fins al moment a Espanya, França, Japó, Àustria, Iugoslàvia, Alemanya, Argentina, Brasil i Bèlgica, amb obres de gran format realitzades per Linda Allison, Sylvie Gallet, Damien Jones, Mario Markus, Janet Parke, Kerry Mitchell, Michael Field, Domenick Anuzzi, Iñigo Quilez, Klaus-Peter Kubik, Luke Plant, Javier Barrallo, Mark Townsend, Earl Hinrichs i Sharon Webb. Referències Javier Barrallo Calonge. ETS Arquitectura. Universidad del País Vasco. |
«La major innovació artística no es produeix buscant noves equacions fractals, sinó creant noves formes d’acolorir les ja existents»
«En casos extrems dues imatges fractals amb les mateixes fórmules i paràmetres, però diferents esquemes de color, poden semblar completament diferents»
Taupensky, per Janet Parke. El moviment brownià, el moviment pseudocaòtic que es produeix en les partícules de pols suspesa en l’aire o a l’aigua tèrbola, ha estat transportat al camp dels algorismes de color amb gran èxit. Gràcies a aquest efecte s’aconsegueixen trames de gran realisme que són profusament utilitzades com a fons de les imatges o com a textures del motiu principal.
L’exposició “The Frontier between Art and Science” ha estat presentada a Espanya, França, Japó, Àustria, Iugoslàvia, Alemanya, Argentina, Brasil i Bèlgica. |
